¿Qué es una caracterización exacta de las funciones de $f$ tal que $xf'(x) \leq 2f(x)$?

Question

¿Qué es una caracterización exacta de las funciones de $f$ tal que $xf'(x) \leq 2f(x)$?

Sé, por ejemplo, que la desigualdad se cumple para todas las funciones $f(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2$,$c_0, c_1, c_2 \geq 0$. Pero no tiene por $f(x) = x^2 - x$ o $f(x) = e^x$. Estoy interesado en el más amplio posible, de la clase de funciones que posee.

Nota 1: Para mi aplicación, también podemos suponer que $f(x), f'(x), f''(x) \geq 0$ todos los $x \geq 0$ (es decir, es positivo, no decreciente y convexa $[0, \infty)$).

Nota 2: estoy interesado en un poco más general de la solución, $xf'(x) \leq bf(x)$ donde $b \geq 1$ es una constante. Pero yo debería ser capaz de generalizar a cualquier solución de la $b = 2$ de los casos.

Answer 1

Uno muy general de la clase de funciones: se llevará a cabo por cualquier "generalizado" polinomio $\sum_n c_n x^{\alpha_n}$ para las opciones de positivos $c_n$ y la elección de la real positivo potencias $\alpha_n < 2$ (es decir, usted puede tener muchos poderes que desea, y que puede ser real en lugar de un número entero). Esto debe extenderse a la serie infinita que tienen el mismo tipo de poderes, a pesar de que podría no converger para todos no negativos $x$ menos que restringir la secuencia de $c_n$. Pero por ejemplo, usted puede poner la $c_n \leq K/n!$ y obtener una serie que converge para todos los no-negativo $x$, por lo tanto la definición de otra clase de funciones.

Answer 2

No estoy seguro de lo que quieres decir por "caracterización". Para $x>0$, este debe mantener siempre $x^{-2} f(x)$ es un nonincreasing función, es decir, $f(x) = x^2 g(x)$ para cualquier nonincreasing función derivable $g$.

Para derivar de ello, escribir el dado de la desigualdad $$ x\,f'(x) - 2\,f(x) \;\leq\; 0 $$ Asumiendo $x> 0$, podemos multiplicar por el factor de integración $x^{-3}$ para obtener $$ x^{-2}f'(x) \,-\, 2x^{-3}f(x) \;\leq\; 0, $$ que puede ser escrito $$ \frac{d}{dx}\biggl[x^{-2} f(x) \biggr] \;\leq\; 0. $$

Answer 3

Para $x > 0$, la condición es equivalente a $\frac{d}{dx} \frac{f(x)}{x^2} \le 0$ mientras que para $x = 0$, simplemente dice $f(0) \ge 0$. Por lo tanto, estas son las funciones diferenciables en $[0,\infty)$ que satisfacer $$f(0) \ge 0, \quad x \mapsto x^{-2}f(x) \quad \text{ es no creciente.} $$ La generalización para el caso de $xf'(x) \le b f(x)$ es ahora evidente.

Answer 4

La desigualdad de los rendimientos (digamos que usted ha $b$ en lugar de $2$)
Para $x>0$, $xf'(x)-bf(x)\leq 0\Rightarrow x^bf'(x)-bx^{b-1}f(x)\leq 0$

$\Rightarrow \frac{x^bf'(x)-bx^{b-1}f(x)}{x^{2b}}\leq 0 \Rightarrow (\frac{f(x)}{x^b})'\leq 0 $
Esto significa que la función $g(x)=\frac{f(x)}{x^b}$ es estrictamente decreciente.
Yo creo que esto es lo que usted desea.