El número perfecto más pequeño de impar debe superar $10^{300}$ .

Question

Estoy estudiando sobre los números perfectos desde hace dos semanas y he experimentado mucha aventura al estudiar un tema tan interesante. Las fuentes básicas han sido Wikipedia y el libro Euler: Maestro de todos nosotros.

Después de probar tantos resultados y leer tanta teoría estoy atascado en uno de los resultados mencionados al final del libro "Euler: El maestro de todos nosotros".

El resultado es el siguiente:

El número perfecto más pequeño de impar debe superar $10^{300}$ .

Como el nombre del matemático que dio el resultado no se da en el libro, ni siquiera puedo encontrarlo en Internet. Estaré muy agradecido si me puede dar una pista para acercarme a este resultado o puede proporcionar una prueba directa. Perdonen si este resultado es trivial y se me escapa algo muy común.

Gracias.

Answer 1

Desde http://mathworld.wolfram.com/OddPerfectNumber.html

A día de hoy, no se sabe si existen números perfectos de impar, aunque los números hasta $10^{300}$ se han comprobado sin éxito, lo que hace que la existencia de números perfectos Impares parezca poco probable (Brent et al. 1991; Guy 1994, p. 44). El siguiente cuadro resume el desarrollo de límites cada vez más altos para los números perfectos Impares más pequeños posibles. posible. Hay un proyecto en marcha en http://www.oddperfect.org/ que buscan ampliar el límite más allá de $10^{300}$ .

• autor atado
• Kanold (1957) $10^{20}$
• Tuckerman (1973) $10^{36}$
• Hagis (1973) $10^{50}$
• Brent y Cohen (1989) $10^{160}$
• Brent et al. (1991) $10^{300}$

Brent, R. P. y Cohen, G. L. "A New Bound for impar Perfect Numbers". Math. Comput. 53, 431-437 y S7-S24, 1989.

Brent, R. P.; Cohen, G. L.; te Riele, H. J. J. "Improved Techniques for Lower Bounds for impar Perfect Numbers". Math. Comput. 57, 857-868, 1991.

Guy, R. K. "Números perfectos". §B1 en Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 44-45, 1994.

Answer 2

El artículo de Wikipedia da un límite inferior más fuerte, $10^{1500}$ , que se muestra en un trabajo de Ochem y Rao (2012) que dice que obtuvieron la mejora modificando el método por el que Brent, Cohen y te Riele (1991) obtuvieron la cota por la que preguntas. Ver el PDF aquí o el Matemáticas. Comp. página de la revista aquí .

Answer 3

Eso no es un " cosa común ".

El documento que establece la $10^{300}$ se remonta a $1991$ y puede descargarse de la página del autor: Técnicas mejoradas para los límites inferiores de los números perfectos Impares .

Resumen

Si $N$ es un número perfecto impar, y $q^k$ es la mayor potencia de $q$ dividiendo $N$ , donde $q$ es primo y $k$ es par, entonces es casi inmediato que $N \gt q^{2k}$ . Demostramos aquí que, sujeto a ciertas condiciones verificables en tiempo polinómico, de hecho $N > q^{5k/2}$ . Utilizando este resultado y otros relacionados, podemos ampliar los cálculos de un artículo anterior para demostrar que $N > 10^{300}$ .

Véase también el OddPerfect.org preanuncio.