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Question

Tengo que resolver esta integración indefinida$$\int \frac{\tan^4 \theta d \theta}{1-\tan^2 \theta}$ $ Lo intenté de la siguiente manera$$I=\int\frac{(\sec^2 \theta-1)\tan^2 \theta d \theta}{1-\tan^2 \theta}=\int\frac{\sec^2 \theta \tan^2 \theta d \theta}{1-\tan^2 \theta}-\int\frac{\tan^2 \theta d \theta}{1-\tan^2 \theta}$ $ La primera parte de la integración puede ser resuelta fácilmente por sustitución, pero ¿cómo resolver la segunda parte? Ayudar a resolverlo por otro método si usted tiene. ¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia:

Usar la sustitución $u=\tan\theta$, $\mathrm d\mkern1.5mu u=(1+u^2)\mkern1.5mu\mathrm d\mkern1mu\theta$. Obtendrá la integral de la función racional: $$\int\frac{u^4}{1-u^4}\,=\int\frac{u^4}{(1-u)(1+u)(1+u^2)}\,\mathrm d\mkern1mu u$ $ entonces, descomposición en fracciones parciales y de vuelta a $\theta$.

Answer 2

Aquí es otra forma de proceder:

$\displaystyle\int\frac{\tan^4\theta}{1-\tan^2\theta}d\theta=\int\frac{\tan^4\theta-1}{1-\tan^2\theta}d\theta+\int\frac{1}{1-\tan^2\theta}d\theta=-\int(\tan^2\theta+1)d\theta+\int\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta-\sin^2\theta}d\theta$

$=\displaystyle-\int\sec^2\theta \;d\theta+\int\frac{\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta)}{\cos 2\theta}d\theta= -\tan\theta+\int\left(\frac{1}{2}\sec2\theta+\frac{1}{2}\right)d\theta$

$=\displaystyle-\tan\theta+\frac{1}{4}\ln\big|\sec2\theta+\tan2\theta\big|+\frac{1}{2}\theta+C$

Answer 3

Sugerencia: (Este se expande la sugerencia de @Bernard... era lo que necesitaba para hacer que funcione.)

Tenga en cuenta que $\frac{1}{1-\tan^{2}(\theta)}=\frac{1+\tan^{2}(\theta)}{(1-\tan^{2}(\theta))(1+\tan^{2}(\theta))}=\frac{\sec^{2}(\theta)}{1-\tan^{4}(\theta)}$.

Así, utilizando la propuesta de sustitución de $u=\tan(\theta)$ da

$$\int \frac{\tan^{4}\theta}{1-\tan^{2}\theta}d\theta= \int \frac{u^{4}}{1-u^4}du=\int -1 + \frac{1}{1-u^4}du.$$

A continuación, $(1-u^4)=(1-u)(1+u)(1+u^2)$ y puede ser terminado con parciales de fracciones.

Answer 4

SUGERENCIA: Multiplicar el numerador y el denominador por $\cos^2(\theta)$. Reescribir $\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$ $\cos(2\theta)$ $\sin^2(\theta)$ en términos de $cos(2\theta)$. Sabemos cómo integrar la $\sec(2\theta)$.