Posible redundancia de libros de texto sobre asignaciones invertibles

Question

En mi libro de texto (Álgebra Moderna por Juan Durbin, 6ª Ed), es el siguiente teorema:

Deje $S$ denotar cualquier conjunto no vacío. (a) la Composición es una operación asociativa en $M(S)$, con un elemento de identidad $\iota_S$. (b) la Composición es una operación asociativa en el conjunto de todos los invertible asignaciones en $M(S)$, con identidad $\iota_S$.

Aquí, $M(S)$ denota el conjunto de todas las asignaciones de$S$$S$.

Mi pregunta es simple: no la parte (a) garantía de la parte (b)? Después de todo, el conjunto de todos los invertible asignaciones en $M(S)$ es simplemente un subconjunto de la totalidad de las asignaciones en $M(S)$. No obstante, el autor da pruebas de ambas partes de este teorema y no la dirección de mi punto anterior. A donde voy mal? Podría alguien confirmar mi razonamiento o mostrar mi error al proporcionar un contraejemplo tal vez?

Answer 1

Primero lo primero: Es más fácil para nosotros si usted quisiera citar el resultado por su número en el libro, en vez de simplemente decir que se trata del libro. De esta manera, aquellos de nosotros que tenemos el libro en papel puede encontrar fácilmente. Es el Teorema 4.1 en el Capítulo I.

También, el requisito de que $S$ ser no vacío es inútil. Nunca he entendido por qué algunas personas encuentran útil para agregar dichos requisitos. Casi no hay expertos en hacer esto; la enfermedad parece ser en su mayoría se extendió a través de pregrado a nivel de textos.

Ahora, en cuanto a tu pregunta: Usted está diciendo que la asociatividad de la composición en invertible asignaciones de la siguiente manera a partir de la asociatividad de la composición en todas las asignaciones, y, por tanto, su declaración es redundante. Esto es cierto, y Durbin mismo argumenta de esta manera en el último párrafo de esta prueba. Sin embargo, la afirmación de que "la Composición es una operación asociativa en un conjunto $X$" no sólo significa que la composición es asociativa. También significa que es una composición determinada operación binaria $X \times X \to X$ (al menos en este contexto); es decir, se dice que la composición de dos elementos de la $X$ está de nuevo en $X$. Así, en (b), se dice que la composición de dos invertible asignaciones de $S$ $S$es de nuevo una invertible asignación de$S$$S$. Esto es lo que es realmente el punto de la parte (b).

Answer 2

Una vez que la asociatividad se establece para el conjunto más grande, que es el que sigue inmediatamente para el conjunto más pequeño también. Las cosas de las que preocuparse aquí es que la composición de la invertible asignaciones de nuevo es invertible (de modo que, de hecho, la operación de composición que se restringe para el subconjunto más pequeño), y que la asignación de identidad es invertible (de modo que está presente en el subconjunto más pequeño). Estos hechos, de hecho, de garantía (trivialmente) que el conjunto más pequeño ha declarado propiedades. No hay necesidad de volver a hacer toda la prueba.

Answer 3

La palabra clave aquí es "operación", no "asociativo". La asociatividad de las subconjunto es, de hecho, es obvio. El hecho de que es una operación binaria en $M(S)$ NO es así, y requiere la demostración: es que si vamos a llamar a la invertible conjunto de asignaciones $S \to S,\ A(S)$, $f,g \in A(S)$ implica entonces $f \circ g \in A(S)$.

La frase "...con la identidad de $\iota_S$", aparentemente se viró como una idea, es también uno de los puntos controvertidos, no está claro que $\iota_S$ es incluso en el conjunto más pequeño $A(S)$.

Durbin parece ser obstaculizado en este momento por la falta de disponibilidad de la terminología: lo que él está diciendo es que el $M(S)$ formas un monoid, y que $A(S)$ es un sub-monoid de $M(S)$, que tiene la estructura más de un grupo. Que es:

Para cualquier (no vacío), $S$, la $M(S)$ formas un monoid, llamado el monoid de transformaciones de $S$ (el requisito de que $S$ no vacía es principalmente para evitar el ontológica tiniebla de lo que es una función de $f: \emptyset \to \emptyset$ "es". Me aseguro de que usted no falta nada emocionante, no).

Del mismo modo, el conjunto de $A(S)$ forma un grupo llamado el grupo de permutaciones de $S$. Estas dos estructuras son bastante importantes a través de las matemáticas, especialmente para finito de conjuntos. Si $|S| = n$,$|M(S)| = n^n$, e $|A(S)| = n!$, y estos "tamaños" se utiliza de diversas maneras para determinar cosas como: "¿de cuantas formas puedo hacer (algo o a otro)?".

Estas dos estructuras puede ser pensado como el "plan maestro" para la estructura de monoids, y grupos y, en general, de la misma manera como $\Bbb R^n$ es el modelo para cualquier $k$-dimensiones reales de espacio vectorial, donde $k \leq n$. Son muy importantes, aunque puede ser absorbido por otros particulares de álgebra abstracta por un tiempo.

En álgebra abstracta en general, dada una "cosita" $A$, con un subconjunto $B$$A$, algunas de las características de $A$ son "heredadas" por $B$, y algunos no lo son. Las que no lo son, por lo general son el "cierre" de las propiedades, o la inclusión en $B$ de ciertos "distinguidos elementos" de $A$.