Convergencia de la serie$\sum_{1}^\infty \left(1-n\sin(\frac{1}{n})\right)$

Question

Tengo que estudiar la convergencia de la serie$$\sum_{n=1}^\infty \left(1-n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right).$$ I know I should study the limit $$\lim_{n \to \infty}n^\alpha\left( 1-n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right).$ $

Pero tengo algunos problemas con este límite (y así la convergencia de la serie). ¿Algunas ideas?

Answer 1

Sugerencia: $$ \ sin x = xx ^ 3/6 \ dots, $$ de ahí $$ \ frac {\ sin x} {x} -1 = -x ^ 2/6 \ dots, Se comporta como$\sum 1/n^2$.

Si no se le permite usar la expansión de Taylor, puede usar la prueba de relación, comparándola con$\sum 1/n^2$.

Answer 2

Puede observar que, usando la expansión de Taylor de$\sin x$ near$0$, obtendrá, como$n \to \infty$: $$ \ sin \ left (\ frac1n \ right) = \ frac1n \ mathcal { (\ Frac1 {n ^ 3} \ right) $ $ $$ $ $ $$ $ $ $ $ $ Derecha)$$ and the initial series $ \ displaystyle \ sum_ {n \ geq1} \ left (1 -n \ sin \ left (\ frac1n \ right) Frac1 {n ^ 2} $