Transformación conformacional/ escalamiento de Weyl ¿son dos cosas diferentes? ¡Confundido!

Question

Veo que la transformación de Weyl es $g_{ab} \to \Omega(x)g_{ab}$ bajo la cual el escalar de Ricci no es invariante. Estoy un poco desconcertado cuando la transformación conforme se define como aquellas transformaciones de coordenadas que afectan a la transformación métrica anterior, es decir $x \to x' \implies g_{\mu \nu}(x) \to g'_{\mu \nu}(x') = \Omega(x)g_{\mu \nu }(x)$ . pero cualquier acción covariante es claramente invariante bajo transformación de coordenadas? Veo que lo que se entiende por transformación de Weyl es simplemente cambiar la métrica en un punto por un factor de escala $\Omega(x)$ . Así que mi pregunta es por qué hay que definir estas transformaciones a través de una transformación de coordenadas. ¿Es que estas dos transformaciones son cosas diferentes? En el espacio-tiempo plano entiendo que las transformaciones conformes contienen transformaciones de lorentz y la teoría invariante de lorentz no es necesariamente invariante bajo transformaciones conformes. Pero en una RG o en una teoría covariante efectuar la transformación de Weyl mediante transformaciones de coordenadas va a dejarla invariante. ¿A menos que nos limitemos a reescalar la métrica?

Estoy muy confundido, por favor, ayuda.

Answer 1

La transformación de Weyl y la transformación conforme son cosas completamente diferentes (aunque a menudo se discuten en contextos similares).

Una transformación de Weyl no es en absoluto una transformación de coordenadas sobre el espacio o el espaciotiempo. Es un cambio físico de la métrica, $g_{\mu\nu}(x)\to g_{\mu\nu}(x)\cdot \Omega(x)$ . Es una transformación que cambia las distancias propias en cada punto por un factor y el factor puede depender del lugar - pero no de la dirección de la línea cuya distancia propia medimos (porque $\Omega$ es un escalar).

Nótese que una transformación de Weyl no es una simetría de las leyes habituales que conocemos, como la física atómica o el Modelo Estándar, porque las partículas están asociadas a una escala de longitud preferida, por lo que la física no es invariante de escala.

Por otro lado, las transformaciones conformes son un subconjunto de transformaciones de coordenadas. Incluyen las isometrías -las auténticas "simetrías" geométricas- como subconjunto. Las isometrías son aquellas transformaciones de coordenadas $x\to x'$ que tienen la propiedad de que el tensor métrico expresado como funciones de $x'$ es lo mismo que el tensor métrico expresado en funciones de $x$ . Las transformaciones conformes son casi lo mismo: pero sólo se requiere que estos dos tensores sean funciones iguales hasta un reescalado de Weyl.

Por ejemplo, si tienes una métrica en el plano complejo, $ds^2=dz^* dz$ entonces cualquier función holomorfa, como $z\to 1/z$ es conformemente invariante porque los ángulos se conservan. Si se eligen dos flechas infinitesimales $dz_1$ y $dz_2$ partiendo del mismo punto $z$ y si transformas todos los puntos finales de las flechas a otro lugar mediante la transformación $z\to 1/z$ entonces el ángulo entre las flechas finales será el mismo. En consecuencia, la métrica en términos de $z'=1/z$ seguirá estando dada por $$ ds^2 = dz^* dz = d(1/z^{\prime *}) d (1/z') = \frac{1}{(z^{\prime *}z')^2} dz^{\prime *} dz' $$ que es la misma métrica hasta la escala de Weyl por la fracción del principio. Por eso esta transformación holomórfica es conforme, preserva el ángulo. Pero una transformación conforme es una transformación de coordenadas, un difeomorfismo. La transformación de Weyl es otra cosa. Mantiene las coordenadas fijas pero cambia directamente los valores de algunos campos, especialmente el tensor métrico, en cada punto por un factor multiplicativo escalar.

Answer 2

Una transformación conforme es una transformación espacio-temporal que deja la métrica invariante hasta la escala y, por tanto, preserva los ángulos. Una transformación de Weyl activamente escala la métrica.

Más formalmente:

Dejemos que $M, N$ sean dos variedades con productos internos $g, h$ y coordenadas $x=(x^i), y=(y^j)$ respectivamente.

Un mapa $f:M\rightarrow N$ se llama conforme si existe una función $\Omega\in\mathcal C^\infty(M)$ para que el retroceso se encuentre con $$ f^*h=\Omega g $$ que se lee en coordenadas $$ h_{ij}(y)\frac{\partial y^i}{\partial x^r}\!(x)\frac{\partial y^j}{\partial x^s}\!(x) = \Omega(x)g_{rs}(x) $$ donde $y=f(x)$ .

En el caso de las transformaciones conformes, $M=N$ y $g=h$ y por lo tanto $$ f^*g = \Omega g $$ que se lee en coordenadas $$ g_{ij}(y)\frac{\partial y^i}{\partial x^r}\!(x)\frac{\partial y^j}{\partial x^s}\!(x) = \Omega(x)g_{rs}(x) $$ y mira como una transformación de coordenadas $x\mapsto y$ pero es la expresión de coordenadas de una real (ver mi otra respuesta ).

En el caso de las transformaciones de Weyl, tenemos de nuevo $M=N$ . Sin embargo, el mapa vendrá dado por $f=\mathrm{id}_M$ que se puede encontrar en $$ h=\Omega g $$ con la expresión de coordenadas triviales $$ h_{ij}(x)=\Omega(x)g_{ij}(x) $$ que no puede considerarse una transformación de coordenadas, ya que las coordenadas no cambian.

Answer 3

Las transformaciones conformes son aquellas activo transformaciones de coordenadas (difeomorfismo) $\sigma^a \longrightarrow \sigma'^a=\sigma'^a(\sigma)$ que cambian la métrica de la siguiente forma:

$$g'_{ab}(\sigma')\equiv\frac{\partial\sigma^c}{\partial\sigma'^a}\frac{\partial\sigma^d}{\partial\sigma'^b}g_{cd}(\sigma)=\Omega(\sigma)g_{ab}(\sigma)$$

Así que una transformación conforme es en realidad una transformación de coordenadas activa (es decir, un difeomorfismo) que escala la métrica por un factor que depende de la posición.

Por otro lado, la transformación de Weyl no tiene nada que ver con la transformación de coordenadas. No actúa sobre las coordenadas sino que actúa sobre el tensor métrico :

$$ \sigma^a\longrightarrow \sigma'^a(\sigma)=\sigma^a \\ g_{ab}(\sigma) \longrightarrow g'_{ab}(\sigma')=g'_{ab}(\sigma)=\Lambda(\sigma)g_{ab}(\sigma) $$

Así que una transformación de Weyl es una transformación que actúa sobre el tensor métrico y no sobre las coordenadas.

Answer 4

Esta es mi respuesta original, que, lamentablemente, no ha tenido en cuenta el punto principal de la pregunta. Sin embargo, como he invertido algo de tiempo en escribirla y realmente responde al menos a una parte de la pregunta, la dejaré como está.

Esta es una falacia del enfoque práctico de la geometría diferencial que utiliza únicamente expresiones de coordenadas y una de las razones por las que prefiero el enfoque abstracto-geométrico.

Supongamos, para simplificar, que nuestro colector abstracto $M$ permite sistemas de coordenadas globales $$ \begin{align} \varphi:M&\rightarrow\mathbb R^n \\ p&\mapsto x^\mu \end{align} $$ y $$ \begin{align} \varphi':M&\rightarrow\mathbb R^n \\ p&\mapsto x'^\mu \end{align} $$ La transformación de coordenadas de las coordenadas no imprimadas a las imprimadas viene dada por $$ \begin{align} \varphi'\circ\varphi^{-1}:\mathbb R^n&\rightarrow\mathbb R^n \\ x^\mu&\mapsto x'^\mu \end{align} $$ Ahora, una transformación real sería un difeomorfismo $$ \begin{align} f:M&\rightarrow M \\ p&\mapsto q \end{align} $$ que viene con una expresión de coordenadas $f^\varphi=\varphi\circ f\circ\varphi^{-1}$ $$ \begin{align} f^\varphi:\mathbb R^n&\rightarrow\mathbb R^n \\ x^\mu&\mapsto y^\mu \end{align} $$ donde $x^\mu=\varphi(p)$ y $y^\mu=\varphi(q)$ . Aunque $f^\varphi$ mira como cualquier otra transformación de coordenadas, seguimos en el mismo sistema de coordenadas sin imprimación.

Las transformaciones de coordenadas no cambiarán el valor de las expresiones escalares -por ejemplo, la contracción del tensor métrico con dos vectores para calcular su producto interior- por definición de las leyes de transformación de los tensores.

Este no es el caso de las transformaciones reales: Como no cambiamos de sistema de coordenadas, las componentes del tensor métrico no se transforman y por tanto no pueden equilibrar el cambio de coordenadas de los vectores.

Después de una transformación de coordenadas, seguimos calculando la misma cantidad de forma similar a la utilización de un conjunto diferente de unidades, mientras que después de una transformación real, en realidad calcularemos una cantidad diferente ya que evaluamos en diferentes puntos del colector, es decir, nos movemos en el espaciotiempo.

Answer 5

Hay un apéndice (apéndice D) sobre las transformaciones conformes en el libro de Wald sobre la relatividad general. El primer párrafo es relevante para tu pregunta. Sin embargo, su terminología es diferente a la tuya y con el término transformaciones conformes se refiere simplemente a las transformaciones de Weyl.

El tensor métrico (o cualquier otro tensor) no cambiará, por supuesto, bajo las transformaciones de coordenadas. Sin embargo, si $M$ es un colector, y $f:M\rightarrow M$ si es una función diferenciable, entonces para cualquier campo tensorial covariante $T$ en $M$ podemos definir el correspondiente campo tensorial de retroceso $f^*T$ en $M$ (véase de nuevo el apéndice C de Wald para las definiciones). En particular, si $g$ es un tensor métrico, entonces podemos definir el tensor métrico de retroceso $f^*g$ en $M$ . Si $f$ es un difeomorfismo y $g$ es no degenerado entonces $f^*g$ también será no degenerada, y tendrá la misma firma que la de $g$ . También $f^*g$ será en general diferente de $g$ es decir, retroceder bajo un mapa es una transformación diferente a la de coordenadas. (la diferencia es algo similar a las transformaciones de coordenadas "pasivas" y "activas", pero esta terminología podría ser muy confusa aquí).

Si $f$ es un difeomorfismo tal que la métrica de retroceso $f^*g$ es igual a $\Omega g$ para alguna función positiva $\Omega$ entonces se llama isometría conforme. La teoría de campos conformes es, por definición, aquella cuyo grupo de simetría contiene como subgrupo al grupo de isometrías conformes (posiblemente sólo "locales").