Apostol (6.25.40): Buscar$\int {x^{-2}}\sqrt{2 - x - x^2} dx$

Question

He estado luchando con este ejercicio de Apostol por algún tiempo (Sección 6.25, la Pregunta 40). La integral es $$ \int\frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x^2}\, dx $$ con un toque de "multiplicar el numerador y el denominador por $\sqrt{2-x-x^2}$".

PD: la respuesta suministrada en el libro es $$ -\frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x} +\frac{\sqrt{2}}{4}\log(\frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x} - \frac{\sqrt{2}}{4}) - \arcsen\frac{2x+1}{3} + C $$

He realizado la sugerencia y he obtenido el siguiente: $$ \int\frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x^2}\, dx = \int\frac{\sqrt{2-x-x^2}}{x^2}\cdot \frac{\sqrt{2-x-x^2}}{\sqrt{2-x-x^2}}\cdot dx $$ $$ = \int\frac{2-x-x^2}{x^2\sqrt{2-x-x^2}}\cdot dx $$ $$ = \int\frac{2}{x^2\sqrt{2-x-x^2}}\cdot dx - \int\frac{x}{x^2\sqrt{2-x-x^2}}\cdot dx- \int\frac{x^2}{x^2\sqrt{2-x-x^2}}\cdot dx $$ $$ = \int\frac{2}{x^2\sqrt{2-x-x^2}}\cdot dx - \int\frac{dx}{x\sqrt{2-x-x^2}} - \int\frac{dx}{\sqrt{2-x-x^2}} $$ Ahora me puede mostrar fácilmente que $$ \int\frac{dx}{\sqrt{2-x-x^2}} = \arcsin{\frac{2x+1}{3}} $$ No he abordado el problema de la integral de la $\int\frac{2}{x^2\sqrt{2-x-x^2}}\cdot dx $ aunque sospecho que una sustitución de la $x+0.5 = 1.5 \sin{t}$ podría ayudar, ya que yo ya sé que $2-x-x^2 = (\frac{3}{2})^2 - (x+\frac{1}{2})^2$. La integral estoy luchando con la (por el momento) es $\int\frac{dx}{x\sqrt{2-x-x^2}} $.

Hasta ahora he intentado lo siguiente:

1. Una inicial de sustitución de $x+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\sin(t)$, lo que resultó en lo siguiente: $$ \int\frac{dx}{x\sqrt{2-x-x^2}} = -2\int\frac{dt}{1-3\sin(t)} $$
2. Una segunda sustitución de $u = \tan\frac{t}{2}$ dio el siguiente: $$ -2\int\frac{dt}{1-3\sin(t)} = -4\int\frac{du}{u^2-6u+1} $$
3. Usando integración por fracciones parciales, puedo demostrar que $$ -4\int\frac{du}{u^2-6u+1} = \frac{-1}{\sqrt{2}}\log|\frac{u-3-2\sqrt{2}}{u-3+2\sqrt{2}}| $$
4. Esto significaría que $$ -2\int\frac{dt}{1-3\sin(t)} = \frac{-1}{\sqrt{2}}\log|\frac{\tan\frac{t}{2}-3-2\sqrt{2}}{\tan\frac{t}{2}-3+2\sqrt{2}}| $$
5. Desde $x+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\sin(t)$ implica $\cos(t) = \frac{2}{3}\sqrt{2-x-x^2}$ $\tan\frac{t}{2} = \frac{1-\cos(t)}{\sin(t)}$ comenzamos a obtener algo que claramente no es el aspecto de cualquier cosa cerca de la respuesta

Así que mi pregunta que estoy buscando respuestas son:

1. Es este el enfoque correcto para esta integral o estoy con vistas a algo más que obvio?; y
2. Tendrá un enfoque similar se requiere para la integral de la $\int\frac{2}{x^2\sqrt{2-x-x^2}}\cdot dx$ ?

Answer 1

Para el% integral $\int\dfrac{dx}{x\sqrt{2-x-x^2}}$, podemos sustituir$x=\dfrac{1}{t}$, de manera que$dx=-\dfrac{1}{t^2}dt$ y la integral se convierte en$\int\dfrac{-\frac{1}{t^2}dt}{\frac{1}{t}\sqrt{2-\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}}}=-\int\dfrac{dt}{\sqrt{2t^2-t-1}}$ que se pueden evaluar fácilmente. Creo que esto debería funcionar.