Pregunta sencilla, a la que no conozco la respuesta. ¿Funciona igual aunque sólo nos interesen los límites unilaterales, y no causará problemas que el límite actual no exista?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
zoli
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Uno de los supuestos clave de L'Hospital del teorema es que las funciones $f,g$ ser derivable sobre un intervalo abierto uno de cuyos puntos finales es $c$, el punto al que $x$ tiende:
$$\lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}.$$
La prueba debido a Taylor y presentado en la Wiki no sólo operan a través de este cara intervalo de común la diferenciabilidad.
Así que la regla de L'Hospital de es básicamente acerca de uno de los límites laterales.
Para ser muy riguroso, en primer lugar, uno tiene que examinar los derivados en ambos lados de $c$. Puede ser que la izquierda y la derecha de los límites de la diferencia o sólo uno de ellos sale.
the.polo
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No estoy 100% seguro de lo que quieres decir, pero permítanme decir las siguientes cosas y dime si eso contesta a tu pregunta.
En primer lugar, permítanme decir de l'hospital de la regla:
Deje $I=(\tilde{x}_0,x_0)$ ser un no-vacío Intervalo abierto y $ f,\, g \colon I\to\Bbb{R} $ funciones diferenciables, s.t. $x\nearrow x_0$ ambas funciones tienden a 0 O ambas funciones divergen ($-\infty$ o $+\infty$).
Si $ g'(x) \neq 0$ $\forall x \in I$ sostiene y $\tfrac{f'(x)}{g'(x)}$ converge para $x\nearrow x_0$ $c$o diverge ($-\infty$ o $+\infty$), entonces también lo hace $\tfrac{f(x)}{g(x)}$. Analógica para $x\searrow \tilde{x}_0$.
Si $I$ está totalmente contenida en un intervalo abierto, donde las condiciones anteriores se espera, entonces, especialmente, las siguientes sostiene$$\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=c~\Rightarrow~\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=c.$$ Esto también es válido para el intervalo de los límites de la $x_0=\pm\infty$.
En segundo lugar, recordemos que:
Por definición, el límite de $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)$ existe si y sólo si $\lim_{x\searrow x_0}f(x)$ $\lim_{x\nearrow x_0}f(x)$ existen.
Por lo tanto, para la declaración sólo se necesita unilateral límites, y la existencia de la bothsided límite en el resultado implica la existencia de la unilateral.
