Este es un HW pregunta para el curso MAT480 (modelos Matemáticos I) en la Universidad de Athabasca. Estoy tomando este curso a distancia de crédito para graduarse antes. Teniendo un momento difícil poner todas las piezas juntas.
Pregunta
Un parque empresarial ocupa un cuadrado con lados de longitud 2M. Dos tiendas de fotocopias están situados simétricamente en la línea norte-sur que atraviesa esta plaza, en las posiciones (0, +d) y (0, -d) en coordenadas Cartesianas coordenadas con el origen en el centro de la plaza.
Se supone que una tercera copia de la tienda de planes para ubicar en una posición (r,0)
Tomando d = pM y r = qM con $0\le p , q\le 1$, el uso de Voronoi de análisis para calcular el área del territorio cuyos puntos están más cerca de esta nueva tienda. Usted tendrá que considerar tres casos distintos.
una. Muestran que estos tres casos se distinguen por las condiciones:
- Caso 1: $0\le p \le q \le 1$
- Caso 2: $0 \le \sqrt{1+p^2} - 1\le q \le p \le 1$
- Caso 3: $0 \le q \le \sqrt{1+p^2} -1 \le p \le 1$
Lo que he averiguado
Pasé acerca de los incontables horas tratando de averiguar lo que tengo hasta ahora, y a 1 hora con una especie de profesor en la Universidad de Ottawa. Aquí:
- Escala: en lugar de lidiar con el original de los cuadrados de área $4M^2$, yo simplemente uso un cuadrado de área de 4 $units^2$ (es decir, al primer cuadrante es la unidad de la plaza.)
- Lo anterior hace que nos lidiar con puntos en$(0, \pm p)$$(q, 0)$.
- Primer Cuadrante: estoy buscando solo el primer cuadrante (tal vez por segundo cuando sea necesario) para calcular el área. Luego se multiplica por dos, todo es simétrica a continuación.
- Puntos: nueva tienda $(q, 0)$ es P, dos tiendas antiguas son S1 $(0, p)$ y S2 $(0, -p)$
Deje $l$ ser la línea de los diagrama de Voronoi que los "recortes" a través del primer cuadrante en diagonal. Esta línea es la que media entre los puntos S1 y P y, como una función de la $x$ es simplemente:
$$ l = \frac{p^2 + q^2}{2} + \frac{q}{p} $$
- Vamos Q ser el punto donde los vértices de Voronoi cumplir. Es el punto a la misma distancia de P, S1 y S2. Tomamos nota de que Q pone en el eje x (es la intersección de a $l$) y tiene coordenadas $(x_Q,0)$ Así:
$$ x_Q = \frac{p^2 - p^2}{t2} $$
- Vamos a W de ser el punto donde $l$ se cruza con la línea de $y=1$. W tiene coordenadas $(x_W, 1)$ Así:
$$ x_W = \frac{p}{q} + x_Q = \frac{p}{q} \left( 1 + \frac{p^2 - p^2}{2} \right) $$
- Vamos a Z ha de ser el punto donde $l$ se cruza con la línea de $x=1$. Z tiene coordenadas $(1, y_Z)$ Así:
$$
y_Z = \frac{q}{p} + \frac{p^2 + q^2}{2}
$$
Caso 1
Ahora, como usted probablemente puede imaginar, la diferencia entre los tres casos es realmente una cuestión de "cómo" el área es calculada. Lo entiendo completamente, a la derecha de la salida es que el Caso 1: $0\le p \le q \le 1$ es que sólo el tiempo cuando el origen NO pertenece a P territorio.
Nos dimos cuenta de que aquí, $x_Q \ge 0$ (obvio desde $q \ge p$) y que $x_W \leq 1$. He aquí por qué:
$$ x_W \le 1 $$ $$ \frac{p}{q} + x_Q \le 1 $$ $$ \frac{p}{q} \le 1 - x_Q $$ $$ p \le p - qx_Q $$ $$ p \le q $$
De manera que el área es simplemente "el área del triángulo" + "rectángulo correspondiente a la zona" 2 veces:
el área del triángulo rectángulo de altura 1 funcionamiento de $x_Q$ $x_W$
MÁS
el área del rectángulo de altura 1 funcionamiento de $x_W$ a 1.
(mult por 2).
Me dieron:
$$ 2 \left[ \frac{(x_W - x_Q)(1)}{2} + (1-x_W)(1) \right] = x_W - x_Q + 2 - 2x_W = 2 - x_Q - x_W = 2 - x_Q - \left(\frac{p}{q} + x_Q\right) = 2 - 2x_Q - \frac{p}{q} = 2 + \frac{p^2 - p - p^2}{q} $$
Caso 2 y Caso 3
Por supuesto, aquí, $x_Q \leq 0$ por lo que el origen es ahora parte de P territorio.
Aquí es donde mi trabajo se ha llegado a una parada abrupta. Todavía estoy teniendo problemas para hacer sentido de la condición, incluyendo el $\sqrt{1+p^2}$. Yo sé lo que es geométricamente, es la longitud de la hipotenusa del triángulo S1, el origen y la $(1,1)$, o más simplemente, es la distancia desde S1 a $(1,1)$.
Mi intuición me dice que si $q$ es mayor o menor que $\sqrt{1+p^2} -1$, $x_W$ antes/después de la línea de $x=1$ ... pero ¿cómo?
He probado varias de las desigualdades en vano.
Donde necesito su ayuda, simplemente:
Por ahora, creo que todo se reduce a esto...
Es $x_W$ mayor o menor que 1 en los casos 2 y 3? Recordar la información anterior:
- Caso 2: $0 \le \sqrt{1+p^2} - 1\le q \le p \le 1$
- Caso 3: $0 \le q \le \sqrt{1+p^2} -1 \le p \le 1$
$$ x_W = \frac{p}{q} \left( 1 + \frac{p^2 - p^2}{2} \right) $$
Gracias por su ayuda!
