¿cómo demostrar que el pullback preserva los monomorfismos?

Question

Estoy leyendo un libro, y me he atascado en demostrar esta propiedad de que el pullback de un monomorfismo es un monomorfismo. Todavía no estoy muy familiarizado con el uso de la propiedad de mapeo universal (que supongo que necesito en esto) para demostrar las cosas, aunque puedo entender algunos ejemplos de uso de UMP.

Buscando por ahí, sólo encontré esta respuesta de Math SE sobre lo que significa que los pullbacks preserven los monomorfismos (que es lo mismo que dice el libro). Basado en esa respuesta:

Dado un cuadrado de retroceso, $$\require{AMScd} \begin{CD} X' @> p_1 >> X \\ @V p_2 VV @VV f V \\ Y' @>> g > Y \end{CD}$$ si $f: X \to Y$ es un monomorfismo, entonces $p_2: X' \to Y'$ también es un monomorfismo.

¿Cómo puedo demostrar esta propiedad?

Answer 1

Supongamos que $f$ es un monomorfismo, y supongamos que tenemos algún objeto $Z$ con dos mapas $\alpha, \beta: Z \to X'$ tal que $p_2 \alpha = p_2 \beta$ . Debemos demostrar que $\alpha = \beta$ . Por hipótesis, se deduce que $g p_2 \alpha = g p_2 \beta$ Así que $f p_1 \alpha = f p_1 \beta$ ya que el diagrama conmuta. Pero $f$ es un monomorfismo, por lo que $p_1 \alpha = p_1 \beta$ . Ahora $\alpha$ y $\beta$ estar de acuerdo después de aplicar $p_1$ o $p_2$ por lo que por la propiedad universal del producto fibrado, $\alpha = \beta$ como se desee.