Primos en un grupo: teoría numérica

Question

Caracterizar los primos de los cuales 3 no es un cuadrado en $Z_p$. Calcular $T_{17}$ donde $T_p:=\{a+\sqrt{3}b:a^2-3b^2=1\} \subset Z_p[\sqrt{3}]$. Calcular $T_{17}$. ¿Cuáles son los pedidos de cada uno de los elementos en $T_{17}$?

Estoy atascado en la primera parte.... No sé cómo realmente caracterizar a estos primos o lo que significa.

Para el cómputo de los $T_{17}$, estoy suponiendo que necesita para encontrar los elementos contenidos. Necesito comprobar todas las posibles combinaciones de a y b? o es que hay un acceso directo de algún tipo? Por ejemplo, puedo ver que $a=7$, $b=4$ funciona con $7+4\sqrt{3}$ desde $7^2-3(16)=1$.

Answer 1

Caso 1: $p\equiv 1\mod 4$

Por la reciprocidad cuadrática, tenemos $x^2\equiv 3\mod p$ tiene solución si y sólo si $x^2\equiv p\mod 3$ es solucionable. El último tiene una solución si y sólo si $p\equiv 1\mod 3$ (recordar que $p\ne 3$) por lo que en este caso se ha $p\equiv 1\mod 12$.

Caso 2: $p \equiv 3\mod 4$

Por la reciprocidad cuadrática, tenemos $x^2\equiv 3\mod p$ tiene solución si y sólo si $x^2\equiv p\mod 3$ no es solucionable. De nuevo, el último tiene una solución si y sólo si $p\equiv 1\mod 3$, por lo que en este caso el original de la congruencia tiene una solución si y sólo si $p\equiv 11\mod 12$.

Los dos casos muestran que los números primos tales que $3$ no es un cuadrado en $\mathbb{Z}_p$ son exactamente los congruente a $5$ $7$ modulo $12$.

Para calcular los $T_{17}$, se puede usar la simetría para solo comprobar los valores de $0,1,\ldots, 8$ porque si $(a,b)$ es una solución a $a^2-3b^2=1$, entonces también lo es $(\pm a,\pm b)$. En cualquier caso, se obtienen los siguientes $18$ elementos, se registró como pares ordenados:

$$T_{17}=\{(\pm1,0),(\pm2,\pm1),(\pm 5,\pm5),(\pm7,\pm 4),(\pm 8,\pm 2)\}$$