Posibles poliedros todo pentágono

Question

Si un poliedro está formado sólo por pentágonos y hexágonos, ¿cuántos pentágonos puede contener? Suponiendo que haya tres polígonos por vértice, se puede demostrar que hay 12 pentágonos.

No hagamos esa suposición y usemos sólo pentágonos.

12 pentágonos: dodecaedro y tetartoide .
24 pentágonos: icositetraedro pentagonal .
60 pentágonos: hexecontaedro pentagonal .
72 pentágonos: octaedro truncado doble .
132 pentágonos: Poliedro de 132 pentágonos .
180 pentágonos: icosaedro truncado doble .

Este es el aspecto del 132.

En ese rango de 12 a 180, ¿qué valores faltan? Para los valores que faltan aquí donde existe un poliedro todo pentágono, ¿cuál es el poliedro más simétrico para ese valor?

Edición: Según Hasheminezhad, McKay y Reeves , hay gráficos planos que llevan a 16, 18, 20 y 22 caras pentagonales, pero nunca he visto estos poliedros.

16 sería el doble de la antiprisma de cuadrado oblicuo .
20 sería el dual de este gráfico:

Answer 1

Puedes conseguir $4k$ caras pentagonales para cualquier $k3$ . Tome $k$ pentágonos que se encuentran en un punto (en el plano, o en una esfera). Entre cada par de pentágonos adyacentes, dibuja otro pentágono, formando un segundo anillo de $k$ pentágonos. Cada uno de los originales $k$ pentágonos tiene una sola arista expuesta a la izquierda; a esta arista y a las dos aristas adyacentes de los pentágonos del segundo anillo, añade dos más para formar un nuevo pentágono. De este modo se forma un tercer anillo de $k$ pentágonos. La unión de los $k$ nuevos vértices de este anillo a un solo punto completa un cuarto anillo de $k$ pentágonos.

Habiendo dibujado el gráfico plano, el teorema de Steinitz dice que tal poliedro existe.

El vértice inicial, y el vértice final, tienen grado $k$ todos los demás vértices tienen grado tres. Cuando $k=3$ esta es una construcción estándar del dodecaedro regular.

El poliedro puede hacerse con un eje de $k$ -rotación doble a través de los dos vértices de grado $k$ También tenemos reflexiones y una media vuelta que lleva uno de esos vértices al otro, durante al menos $4k$ simetrías.

Por otro lado, es evidente que el número de caras debe ser par (ya que 5 veces el número de caras es el doble del número de aristas). Por lo tanto, las posibilidades restantes para el número de caras son equivalentes a 2 mod 4.

Answer 2

Hay una manera fácil de obtener un poliedro con $10n+2$ sólo pentágonos.

Empieza con un dodecaedro regular. Toma un dodecaedro congruente y fúndelo cara a cara con el primero, eliminando las caras fusionadas para obtener un incremento de $10$ caras. Repite como quieras con otros dodecaedros regulares.

Sí, es feo, ya que carecemos de convexidad y no tenemos una simetría elegante (para $n \ge 2). Pero hace funcionar sistemáticamente un número infinito de caras, y las propias caras son regulares.

Adenda:

Siguiendo la respuesta de @Kundor, podemos interpretar esto en términos de teoría de grafos. Al fusionar un dodecaedro adicional en la figura, estamos dividiendo una de las caras pentagonales del gráfico en $11$ caras, de forma que las caras adyacentes no se alteren (sigan siendo pentagonales). Esta división puede aplicarse a cualquier poliedro "base", así por ejemplo un poliedro base con $16$ caras garantiza poliedros con $10n+6$ caras, $n\ge 2$ también.

La combinación de este resultado con el de @Kundor implica que casi cualquier número par de caras $\ge 12$ se puede acceder. Sólo $14$ y $18$ que no son múltiplos de $4$ y demasiado pequeño para ser alcanzado a través del $10$ -incremento de la cara, requieren un análisis más profundo. Para $18$ tenemos un gráfico plano correspondiente a un poliedro (básicamente una bipirámide trigonal donde cada cara está dividida en tercios) pero para $14$ no hay gráficos planos y, por lo tanto, ¡no hay soluciones!

Así que los posibles números de caras resultan ser $12$ y todos los números pares mayores o iguales a $16$ .