Supongamos que g es continua en un intervalo [a,b] y que $g(x) ∈ [a,b]$ todos los $x ∈ [a,b]$.
(a) Use el teorema del valor intermedio para demostrar que es al menos un número $c ∈ [a,b]$$g(c) = c$.
Aquí va mi intento:
Definir $G: [a,b] \to $$\mathbb R$ por $G(x) = x - g(x).$ $G$ es continua en a $[a,b].$ Desde $a \leq g(a)\leq b$ $a \leq g(b)\leq b$ nos encontramos con $G(a) = a -g(a) \leq 0 $$G(b) = b -g(b) \geq 0 $. Por el teorema del valor intermedio, existe un $c ∈ [a,b]$ tal que $G(c) = 0$ o $c - g(c) = 0.$ $g(c) = c.$
(b) Supongamos, además, que $g$ es diferenciable y que existe una $\lambda <1$ $|g'(x)|\leq \lambda$ todos los $x ∈ [a,b]$. Demostrar que no es exactamente un número$c ∈ [a,b]$$g(c) = c$.
Aquí va mi intento:
Puesto que existe dos diferentes puntos fijos $\xi<\xi'$. A continuación, como se indicó podemos utilización del teorema de Lagrange en $[\xi,\xi']$:
Tenemos $$1=\frac{g(\xi)-g(\xi')}{\xi-\xi'}=f'(\nu)$$ for some $\nu$, which contradicts $|f'(x)|<1$.
(c) Para cualquier valor inicial $x_{0} ∈ [a,b]$, definir una secuencia ${x_{n}} = x_{0}, x_{2}, x_{3} ...$$x_n = g(x_{n-1})$$n \geq 0$, definir $E_{n} = |x_{n}-c|$$D_{n} = |x_{n+1} - x_{n}|$.
Aquí va mi intento:
Supongo que podemos decir establecer$g(c)=c$$g'(c)=0$. Luego vamos a la secuencia $x_{n} = g(x_{n-1}) = g(c) + g'(c)(x_{n-1} - c) +$ $ \dfrac{g"(Thi)}{2} (x_{n-1}-c)^{2}$ para Thi entre c y x.
Para E_{n}
$E_{n} = |x_{n}-c| = |g(x_{n-1} - g(c)| = $ $ \dfrac{g"(Thi)}{2} |x_{n-1}-c|^{2} =$ $\dfrac{g"(Thi)}{2} {E_{n-1}}^{2} $
Para D_{n}
$D_{n} = |x_{n+1}-X_{n}| = |g(x_{n} - g(X_{n})| = $ $ \dfrac{g"(Thi)}{2} |x_{n}-X_{n}|^{2} =$ $\dfrac{g"(Thi)}{2} {E_{n}}^{2} $
¿Es así como se podría definir esto? Si no, puede usted por favor me muestran?
Por curiosidad, a partir de una pregunta que me acaba de ocurrir. De la pregunta (c):
Es posible que podamos probar que $E_{n} < \lambda^{n} E_{0}$, lo que haría $(x_{n})$ convergen a$c$$D_{n} < \lambda^{n} D_{0}$. Si es así, puede usted por favor, muéstrame cómo? Parece bueno saber.
(ii) Probar que para $n < k$, $|x_k - x_n|\leq $ $$ \dfrac{\lambda^{n} - \lambda^{k}}{1-\lambda}(D_{0}) $$
(iii) Probar que para $E_{n} \leq $ $$ \dfrac{\lambda^{n}}{1-\lambda}(D_{0}) $$
Como usted probablemente puede decir, he aprendido más de esto por mí mismo. Soy un autodidacta de la persona que está tratando de mostrar un poco de esfuerzo. Lo siento si esto no es suficiente, pero todavía se puede mostrar a las pruebas de cada sección. Voy a ser capaz de entender y aprender de ellos. Gracias a toda la gente que hacer ayuda!
