Las descripciones diferentes: el primero $(*)$ es correcta. Esta respuesta se explica cómo y por qué.
Continua distribuciones
Un "continuo" de distribución de $F$ es continua en el sentido habitual de un continuo de la función. Una definición (generalmente el primero que la gente encuentra en su educación) es que para cada una de las $x$ y para cualquier número de $\epsilon\gt 0$ existe un $\delta$ (dependiendo $x$$\epsilon$) para los cuales los valores de $F$ $\delta$- barrio de $x$ variar por no más de $\epsilon$$F(x)$.
Se trata de un corto paso de este a demostrar que cuando un continuo $F$ es la distribución de una variable aleatoria $X$, $\Pr(X=x)=0$ para cualquier número de $x$. Después de todo, la continuidad de la definición implica que usted puede encoger $\delta$ hacer $\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$ tan pequeño como cualquier $\epsilon \gt 0$ y dado que (1) esta probabilidad no es mayor que $\Pr(X=x)$ y (2) $\epsilon$ puede ser arbitrariamente pequeño, se deduce que el $\Pr(X=x)=0$. El contable de la suma de la probabilidad se extiende este resultado para cualquier finito o contable, establezca $B$.
Absolutamente continuas distribuciones
Todas las funciones de distribución de $F$ definir positivo, finito medidas de $\mu_F$ determinado por
$$\mu_F((a,b]) = F(b) - F(a).$$
La continuidad absoluta es un concepto de teoría de la medida. Una forma de medir el $\mu_F$ es absolutamente continua con respecto a otra medida $\lambda$ (ambos definidos en el mismo sigma álgebra) cuando, para cada conjunto medible $E$, $\lambda(E)=0$ implica $\mu_F(E)=0$. En otras palabras, relativa a $\lambda$, no hay "pequeños" (medida cero) establece que $\mu_F$ asigna "grandes" (distinto de cero) la probabilidad.
Haremos $\lambda$ a ser el habitual de medida de Lebesgue, para que $\lambda((a,b]) = b-a$ es la longitud de un intervalo. La segunda mitad de $(*)$ afirma que la probabilidad de medida $\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.
La continuidad absoluta es relativa a la diferenciabilidad. La derivada de una medida con respecto a otro (en algún punto de $x$) es un concepto intuitivo: tomar un conjunto de medir los barrios de $x$ que reducirlos a $x$ y comparar las dos medidas en esos barrios. Si ellos siempre se enfoque el mismo límite, no importa lo que la secuencia de los barrios es elegido, entonces ese límite es la derivada. (Hay una cuestión técnica: es necesario restringir los barrios por lo que no tienen "patológico" formas". Que se puede hacer por que cada barrio para ocupar un no despreciable porción de la región en que se encuentra.)
La diferenciación en este sentido es precisamente lo que la pregunta ¿Cuál es la definición de probabilidad en una distribución continua? está tratando.
Vamos a escribir $D_\lambda(\mu_F)$ por la derivada de $\mu_F$ con respecto al $\lambda$. El correspondiente teorema: es una medida de la teoría de la versión del Teorema Fundamental del Cálculo--afirma
$\mu_F$ es absolutamente continua con respecto a $\lambda$ si y sólo si $$\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$$ for every measurable set $E$. [Rudin, Teorema 8.6]
En otras palabras, la continuidad absoluta (de $\mu_F$ con respecto al $\lambda$) es equivalente a la existencia de una función de densidad de $D_\lambda(\mu_F)$.
Resumen
Una distribución $F$ es continua cuando $F$ es continuo, como una función de: intuitivamente, no tiene "saltos".
Una distribución $F$ es absolutamente continua cuando se tiene una función de densidad (con respecto a la medida de Lebesgue).
Que los dos tipos de continuidad no son equivalentes, se demuestra mediante ejemplos, tales como el relatado en https://stats.stackexchange.com/a/229561/919. Este es el famoso Cantor de la función. Para esta función, $F$ es casi en todas partes horizontales (como su gráfico deja claro), de donde $D_\lambda(\mu_F)$ es casi en todas partes de cero, y por lo tanto $\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$. Obviamente, esto no le da el valor correcto de $1$ (de acuerdo con el axioma del total de la probabilidad).
Comentarios
Prácticamente todas las distribuciones que se utilizan en las aplicaciones estadísticas son absolutamente continuas, en ninguna parte del continuo (discreta), o mezclas de los mismos, de manera que la distinción entre la continuidad y la continuidad absoluta es a menudo ignorado. Sin embargo, al no apreciar esta distinción puede llevar a muddy el razonamiento y la mala intuición, especialmente en los casos donde el rigor es lo que más necesitan: a saber, cuando una situación es confusa o nonintuitive, por lo que dependemos de la matemática que nos lleva a resultados correctos. Es por eso que no se suelen hacer una gran cantidad de este material en la práctica, pero todo el mundo debe saberlo.
Referencia
Rudin, Walter. Real y el Análisis Complejo. McGraw-Hill, 1974: secciones 6.2 (Continuidad Absoluta) y 8.1 (Derivados de las Medidas).
