¿Por qué todos los círculos son similares? (¿Por qué $\pi$ una constante?)

Question

Sé que voy a parecer un chiflado, pero allá voy.
El número $\pi$ se define como el cociente entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Por tanto, se supone que todos los círculos son similares. Utilizando el cálculo universitario (Moise), puedo convencerme analíticamente de que esto es cierto. Pero, ¿cómo lo demostraría sintéticamente un geómetra del siglo V?

Answer 1

Hasta las traslaciones, puede suponer que todos los círculos están centrados en el mismo punto $p$ . Ahora bien, la existencia de una dilatación que envía cada círculo a otro es evidente, porque la propiedad "ser equidistante de $p$ "es invariante bajo dilataciones con centro $p$ .

Answer 2

¡¡No lo son!!

Los círculos tienen circunferencias que dependen del radio, excepto si te encuentras en el espacio euclidiano (un espacio con curvatura cero). Por ejemplo, en un espacio hiperbólico: $$\frac{C}{r}=2\pi \frac{\sinh r}{r}\neq 2\pi$$

Así que, en realidad, la cuestión es cómo sabemos (o sabían los antiguos) que en el espacio euclidiano la proporción es constante. Esto se puede ver observando triángulos, y observando que mientras los ángulos sean los mismos en un plano, las longitudes de los lados se escalan linealmente. Al subdividir un círculo en varios triángulos pequeños, se observa que esta lógica también se aplica a los círculos: si se aumenta el radio, la circunferencia se amplía con un factor constante, que resulta ser $2\pi$ .

Answer 3

Los antiguos geómetras consideraban evidente la semejanza de los círculos (en el plano). Sabían que si creaban formas con regla y compás siguiendo una fórmula, al aumentar o reducir la escala la nueva forma sería congruente con la primera.

Euclides lo utilizó para mostrar una relación entre el área de dos circunferencias sin conocer $\pi$ . Puede que cogiera su regla y su compás y los arrojara contra la pared al contemplar el "perímetro" de un círculo.

Años más tarde, Arquímedes aceptó el reto. Para más información, véase

¿Quién demostró por primera vez que C / D es constante?

y por los detalles históricos en profundidad,

RAZONAMIENTO CIRCULAR: ¿QUIÉN PROBÓ POR PRIMERA VEZ QUE C/d ES UNA CONSTANTE?

donde, sorprendentemente, encontrará,

La creencia de Aristóteles de que las curvas y los segmentos de recta no se pueden comparar persistió. Lo más famoso, en su obra de 1637 La Géométrie , (1596-1650) escribió:

La geometría no debe incluir líneas [curvas] que que a veces son rectas y a veces curvas, ya que la no se conocen las proporciones entre líneas rectas y curvas, y creo que no pueden ser descubiertas por las mentes humanas, y por lo tanto ninguna conclusión basada basada en tales relaciones puede ser aceptada como rigurosa y exacta.

Answer 4

Coge un cubo unitario. Para hacer un cubo duplicando la longitud de cada dimensión se necesitan 8 cubos unitarios.

Tomemos ahora la pirámide invertida de base perfectamente cuadrada y altura unitaria. Ahora compara los volúmenes cuando se duplica la altura de la pirámide invertida. El volumen interno aumenta 8 veces.

Tomemos ahora un cono invertido, dimensionémoslo de forma que la pirámide invertida quepa exactamente dentro de él (entonces aproximadamente el radio del cono a cualquier altura es igual a $\sqrt{2\left( \frac{x}{2}\right)^2}$ donde x es la longitud de uno de los lados de la pirámide invertida a esa altura concreta.

Duplicar la altura de la pirámide invertida aumentará el volumen 8 veces. Si duplicamos la altura del cono invertido (con la pirámide dando un cuadrado inscrito en todas las alturas) el volumen aumenta 8 veces. Si volvemos a duplicar la altura, el volumen volverá a aumentar 8 veces. Se trata de un proceso claramente uniforme y repetible, análogo a duplicar todas las dimensiones de un cubo unitario.

La conclusión más sencilla de estos estudios es que la relación entre el área de cualquier círculo y el área de su cuadrado inscrito es siempre una constante.