La suma de tres dados es once

Question

El espacio muestral de un lanzamiento de tres dados es: $\Omega = \left \{ (1,1,1), ..., (6,6,6) \right \}$
por lo que hay $6^3 = 216$ posibles resultados.

¿Cuál es la probabilidad de obtener un resultado en el que la suma de sus tres componentes sea igual a 11?

He considerado el posible valor puede asumir dados sin una posición particular y luego he considerado las permutaciones para incluir todas las posiciones:
$(6,4,1), 3! = 6 \\ (6,3,2), 3! = 6 \\ (5,5,1), \frac{3!}{2!} = 3 \\ (5,4,2), 3! = 6 \\ (5,3,3), \frac{3!}{2!} = 3 \\ (4,4,3), \frac{3!}{2!} = 3$

por lo que he resumido obteniendo $27$ y la probabilidad sería $\frac{27}{216}$

Ahora, considera que si tengo que hacer estos mismos pasajes para sumas de 3 a 18, es muy agotador.
Así que mi pregunta es: ¿hay alguna forma "más rápida" de hacerlo?

Answer 1

El enfoque de la función generadora consiste en preguntar por los coeficientes de $x^{n}$ en la expansión de:

$$(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^{3}=x^3\left(\frac{1-x^6}{1-x}\right)^3$$

Ahora, $$\frac{1}{(1-x)^3}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+2}{2}x^k$$

Y $$(1-x^6)^3=1-3x^6+3x^{12}-x^{18}$$

Así que el producto de estos y $x^3$ tiene, para el coeficiente $x^n$ :

$$\binom{n-1}{2}-3\binom{n-7}{2}+3\binom{n-13}{2}-\binom{n-19}{2}$$

Truco es tratar $\binom{j}{2}=0$ cuando $j<2.$

Así, por ejemplo, cuando $n=11$ se obtiene $\binom{10}{2}-3\binom{4}{2}=45-18=27$ .

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Esto también le da una idea del valor cuando se trata de $k$ dados. Entonces:

$$c_n = \sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom{k}{i}\binom{n-(1+6i)}{k-1}$$

Si no te gustan las funciones generadoras, esto se puede demostrar mediante inclusión-exclusión.

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Hay otro enfoque que es un poco más rápido para calcular todos los valores.

Si $(1+x+x^2+\cdots+x^5)^3=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\cdots$ entonces lo consigues:

$$(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+\cdots)(1-3x+3x^2-x^3)=(1-x^6)^3=1-3x^6+3x^{12}-x^{18}$$

Esto significa que (fijando $a_n=0$ cuando $n<0$ : $$a_{n}-3a_{n-1}+3a_{n-2}-a_{n-3}=\begin{cases} 1&n=0\\ -3&n=6\\ 3&n=12\\ -1&n=18\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$$

o:

$$a_{n}=3\left(a_{n-1}-a_{n-2}\right)+a_{n-3}+\begin{cases} (-1)^k\binom{3}{k}&n=6k\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$$

A continuación, el coeficiente final de $x^n$ después de multiplicar por $x^3$ de nuevo, es $a_{n-3}$ .

Así que lo tienes:

$$\begin{align}a_0&=0+(-1)^{0}\binom{3}{0}=1\\ a_1&=3\left( a_0-a_{-1}\right)=3\\ a_2&=3\left( a_1 - a_0\right)=6\\ a_3&=3\left(a_2 - a_1\right)+a_0=10\\ a_4&=3\left(a_3-a_2\right)+a_1=15\\ a_5&=3\left(a_4-a_3\right)+a_2=21\\ a_6&=3\left(a_5-a_4\right)+a_3+(-1)^{1}\binom{3}{1}=25\\ &\cdots \end{align}$$

Aquí se puede aplicar un truco especial: $a_{n}=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}$ se sabe que es un polinomio cuadrático en $n$ . Así, cuando $n$ no es múltiplo de $6$ Lo entiendes:

$$a_{n-2}-a_{n-3},a_{n-1}-a_{n-2},a_{n}-a_{n-1}$$ debe ser una progresión aritmética para cualquier $n$ no es múltiplo de $6$ .

Así que tenemos que $a_5-a_4 = 6, a_6-a_5=4$ y así $a_7-a_6=2$ o $a_7=a_6+2=27.$ $a_8=27+0=27, a_9=27-2=25,a_{10}=25-4=21,a_{11}=21-6=15,a_{12}=15-8+(-1)^2\binom{3}{2}=10$ .

Answer 2

Para los casos favorables: Dado que los dados pueden asumir valores enteros entre $1$ y $6$ queremos hallar el número de soluciones en los números enteros positivos de la ecuación $$x_1 + x_2 + x_3 = 11 \tag{1}$$ sujeto a las restricciones que $x_k \leq 6$ para $1 \leq k \le 3$ .

Una solución particular de la ecuación 1 corresponde a la colocación de dos signos de suma en los diez espacios entre unos sucesivos en una fila de once unos. Por ejemplo, $$1 1 1 1 1 + 1 1 + 1 1 1 1$$ corresponde a la solución $x_1 = 5$ , $x_2 = 2$ et $x_3 = 4$ . Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación 1 en los números enteros positivos es el número de maneras en que podemos seleccionar dos de los diez espacios entre unos y otros sucesivos en una fila de once unos en los que colocar signos de suma, que es $$\binom{10}{2}$$

En términos más generales, la ecuación $$x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n$$ tiene $$\binom{n - 1}{k - 1}$$ soluciones en los enteros positivos ya que debemos elegir qué $k - 1$ de la $n - 1$ espacios entre los sucesivos en una fila de $n$ se llenarán de signos de adición.

Sin embargo, hemos contado soluciones en las que una de las variables supera $6$ . Obsérvese que no es posible que dos de las variables superen $6$ simultáneamente desde $2 \cdot 7 = 14 > 11$ .

Supongamos que $x_1 > 6$ . Sea $x_1' = x_1 - 6$ . Entonces $x_1'$ es un número entero positivo. Sustituyendo $x_1' + 6$ para $x_1$ en la ecuación 1 da como resultado \begin{align*} x_1' + 6 + x_2 + x_3 & = 11\\ x_1' + x_2 + x_3 & = 5 \tag{2} \end{align*} La ecuación 2 es una ecuación en los números enteros positivos con $$\binom{5 - 1}{3 - 1} = \binom{4}{2}$$ soluciones. Por simetría, hay un número igual de soluciones en las que $x_2 > 6$ o $x_3 > 6$ . Por lo tanto, el número de soluciones que debemos excluir es $$\binom{3}{1}\binom{4}{2}$$

Por lo tanto, el número de soluciones admisibles es $$\binom{10}{2} - \binom{3}{1}\binom{4}{2}$$

Adenda: Usted preguntó por las sumas de $3$ a $18$ . Si $3 \leq n \leq 8$ entonces el número de soluciones de la ecuación
$$x_1 + x_2 + x_3 = n \tag{3}$$ en los enteros positivos con $x_k \leq 6$ para $1 \leq k \leq 3$ es $$\binom{n - 1}{3 - 1} = \binom{n - 1}{2}$$ ya que no es posible que una de las variables sea superior a $6$ .

Obsérvese también que, por simetría, el número de soluciones con suma $3$ (todos unos) es igual al número de soluciones con suma $18$ (todos seises), el número de soluciones con suma $4$ (dos unos y un dos) es igual al número de soluciones con suma $17$ (dos cincos y un seis), y así sucesivamente. Por lo tanto, conociendo el número de soluciones para $3 \leq n \leq 8$ también nos indica el número de soluciones para $13 \leq n \leq 18$ .

El siguiente argumento muestra que el número de soluciones con suma $n$ es igual al número de soluciones con suma $21 - n$ . Si $y_k = 7 - x_k$ entonces $1 \leq x_k \leq 6 \implies 1 \leq y_k \leq 6$ . Además, sustituyendo $7 - y_k$ para $x_k$ para $1 \leq k \leq 3$ en la ecuación 3 se obtiene \begin{align*} 7 - y_1 + 7 - y_2 + 7 - y_3 & = n\\ 21 - y_1 - y_2 - y_3 & = n\\ -21 + y_1 + y_2 + y_3 & = -n\\ y_1 + y_2 + y_3 & = 21 - n \end{align*}

Con un argumento similar al expuesto anteriormente para $n = 11$ el número de soluciones de la ecuación $$x_1 + x_2 + x_3 = 9$$ en números enteros positivos no superiores a seis es $$\binom{8}{2} - \binom{3}{1}\binom{2}{2} = \binom{8}{2} - \binom{3}{1}$$ Por simetría, éste es también el número de soluciones para $n = 12$ .

Además, por simetría, el número de soluciones para $n = 10$ es igual al número de soluciones para $n = 11$ .

Answer 3

Es el coeficiente de $x^{11}$ en $(x(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5))^3$ que es en realidad $\color{red}{27}$ pero cualquiera que sea la forma de resolverlo será un poco difícil.

Answer 4

Si quieres una solución relativamente eficaz de lápiz y papel, te recomiendo la respuesta de Thomas Andrew.

Si sólo quieres evitar que los cálculos te agoten, y estás dispuesto a utilizar algún software que te ayude, puedes obtener fácilmente las probabilidades con la ayuda de una hoja de cálculo. En lugar de replicar las respuestas a otras preguntas, permíteme que te remita a esta respuesta , en el que di una hoja de cálculo para dados de veinte caras, y esta respuesta , en el que adapté la hoja de cálculo para que funcionara con dados de seis caras.

Por supuesto, si realmente desea una respuesta rápida, puede pregunte a Wolfram Alpha . La hoja de cálculo, sin embargo, tiene la ligera ventaja (en mi opinión) que puedes examinarla para ver cómo se obtienen las probabilidades.

Answer 5

Noodling out.

Si el primer dado es $a $ entonces necesitamos que el segundo dado y el tercero sumen $11-a$ lo que significa que el segundo dado está entre $\max (1,11-a-6)=\max (1,5-a) $ y $\min (6,11-a-1)=\min (6,10-a) $ .

Así que la probabilidad es $\sum\limits_{a=1}^6\sum\limits _{b=\max (1,5-a)}^{\min (6,10-a)}\frac 16*\frac 16*\frac 16$

$=\frac 1 {216}\sum_{a=1}^6 \min (6,10-a)-\max (1,5-a)+1=\sum \min (6,10-a)-\max (0,4-a)=$

$=\frac 1 {216}(3+4+5+6+5+4)=\frac {27}{216} $ .

No estoy seguro de que sea más fácil o más rápido. Los valores máximo y mínimo dificultan la generalización.