Invertir los elementos de una base de una extensión de campo finito

Question

Dejemos que $K/k$ sea una extensión de campo finito de grado $d$ . Supongamos que $\{a_1, \dots, a_d\}$ es una base de $K$ como $k$ -espacio vectorial. ¿Es cierto que $\{a_1^{-1}, \dots, a_d^{-1}\}$ es una base de $K$ como $k$ -¿también el espacio vectorial? Me interesa principalmente el caso de la característica cero.

En la configuración de la característica cero, creo que un buen comienzo sería sustituir $K$ por su cierre normal. Esto nos permite suponer que $K/k$ es una extensión de Galois. Sea $A$ ser un $d \times d$ con coeficientes en $k$ tal que $(a_1^{-1}, \dots, a_d^{-1})^T = A \cdot (a_1, \dots, a_d)^T$ . Mi pregunta es equivalente a si $A$ es invertible.

Answer 1

No. Toma $\alpha=\sqrt[3]2$ et $K/k = \Bbb Q(\alpha)/\Bbb Q$ . Entonces $$ \bigg\{ 1, \frac{\alpha^2}2, \frac{\alpha^2-\alpha+1}3 \bigg\} $$ es una base para $\Bbb Q(\alpha)$ en $\Bbb Q$ . Pero $$ \bigg\{ 1^{-1}, \bigg( \frac{\alpha^2}2 \bigg)^{-1}, \bigg( \frac{\alpha^2-\alpha+1}3 \bigg)^{-1} \bigg\} = \{ 1,\alpha,\alpha+1\}, $$ que no es una base.

Por supuesto, para construir esto empecé con $\{ 1,\alpha,\alpha+1\}$ ; no hay razón para pensar que sus inversos sean linealmente dependientes (los elementos elegidos al azar no lo son). Estoy seguro de que se pueden encontrar ejemplos similares incluso en las extensiones de Galois.