Categoría de fibra de vidrio no es una subcategoría de Conjunto

Question

Estoy tratando de leer el libro de los Anillos y las categorías de módulos por Anderson y Fuller.

En la página 7 se afirma que la categoría de Grupos no es una subcategoría de una categoría de Conjuntos, algunas de las explicaciones se dan allí. ¿Puede alguien por favor darme más detalles? especialmente por qué $mor_G((G,\circ),(H,\circ))\not\subset Map((G,\circ),(H,\circ))$ ?

Answer 1

Así, si uno desea ser pedante (como los trabajos citados es), entonces se nota que a $(G, \circ)$ $(H, \circ)$ son particulares de uno o dos elementos de los conjuntos (si usamos el Kuratowski definición de par ordenado), por lo que el conjunto de mapas de $(G, \circ) \to (H, \circ)$ tiene más de cuatro elementos. Por supuesto, no podría estar más de cuatro homomorphisms $(G, \circ) \to (H, \circ)$.

Usted no debe estar demasiado preocupados con esas distinciones sutiles.

Answer 2

Su interpretación del texto en la página 7 no es derecho (que es, lo admito, un poco confuso).

Un grupo de $G = (|G|, {\circ})$ es un par formado por un conjunto y una operación (que satisface ciertos axiomas). Por lo tanto, el grupo no es un conjunto. Es una estructura compuesta de un conjunto junto con otras cosas.

Es común la práctica de matemáticas para utilizar el mismo símbolo para el grupo, así como su conjunto subyacente y escribir $G = (G, {\circ})$. Las dos ocurrencias de $G$ en esta fórmula indicar diferentes cosas, una de un grupo y el otro un conjunto. Sería más claro para escribir lo que he escrito sobre el uso de diferentes símbolos para los dos. Pero es normal que los matemáticos se espera que reconocer que dos cosas son las que se está hablando, y averiguar cual de ellos es el significado cuando uno ve el símbolo "$G$". Cuando escribimos "$h : G \to H$," nos estamos refiriendo a los grupos de $G$ $H$ . Cuando escribimos "$x \in G$," nos estamos refiriendo a la base del conjunto de la $G$, es decir, $|G|$ en mi notación.

Grp no es una subcategoría de Establecer simplemente porque sus colecciones de objetos son diferentes tipo de cosas.

(Puede omitir Anderson & Fuller, como la justificación de que está diciendo la misma cosa, pero en un más complicado, tal vez.)