Tratando de entender la prueba en introductorio de la teoría de la medida de Rudin

Question

Lo siguiente es un extracto de Rudin, el libro de "Real y el Análisis Complejo". La prueba sólo me confunde bastante, quizás por el hecho de que hay pocas variables que flotan alrededor. He tratado de poner de relieve los puntos específicos que creo que se me impide la comprensión de este.

Primero, ¿por qué lo de definir la función (1) como esta? Segundo, ¿por qué es un Borel función, o en base a qué es eso cierto?

P. S. no estoy pidiendo explicación completa de por sí, pero alguna idea de lo que está pasando sería bueno, muchas gracias!

Answer 1

La función de $\varphi_n$ rondas $t$ hasta el múltiplo más cercano de $\frac{1}{2^n}$, hasta $t$ alcance $n$. En ese momento $\phi_n$ los niveles de apagado a la constante $n$. Por ejemplo, aquí es un gráfico de $\phi_2$:

Por lo $\varphi_n$ toma un número finito de valores en un número finito de partición de $[0,\infty]$. Eso debería ser suficiente para mostrar que es Borel medible. Si se dibuja un número de estos, vamos a ver por qué $0 \leq \varphi_n(t) \leq \varphi_{n+1}(t)\leq t$ todos los $n$, e $\varphi_n(t) \to t$ $n\to\infty$ todos los $t$.

La composición de una función medible $f$ $\varphi_n$ va a la ronda de los valores de $f$ hasta el múltiplo más cercano de $\frac{1}{2^n}$, hasta un cierto punto.

Answer 2

Nuestro objetivo es aproximar f con un aumento de la secuencia de funciones simples medible, con un número finito de valores. Vamos a hacer que al dividir el codominio de f en los intervalos, y la asignación de un único valor a la preimagen de cada intervalo. Si queremos obtener f en el límite que tenemos que ver dos cosas. En primer lugar, nuestro intervalos deben ser cada vez más pequeño en tamaño, por lo que nos aproximado de los valores de f de forma más precisa con cada partición. En segundo lugar, desde nuestro codominio es infinito, $[0,\infty>$, necesitamos ampliar nuestra partición y lo que es más fino.

Así que ahora que sabemos lo que tenemos que hacer es momento para bajar a los negocios!

En cada iteración se nos creará una partición del intervalo $[0,n]$ (de modo que nuestra partición se expande) y vamos a la partición de $[0,n]$ en partes de la longitud de la $\frac{1}{2^n}$ (por lo que se vuelve más fino).

La función de $\varphi_n$ en Rudin el libro de particiones en el codominio mediante la asignación de valores a sus elementos, así: $$\varphi_n(y)=\begin{cases} \frac{k-1}{2^n}, & y\in[\frac{k-1}{2^n}, \frac{k}{2^{n}}>, k=1,...n*2^n \\ n, & y\ge n*2^n\end{cases}$$

Cada $\varphi_n$ es, obviamente, un medibles función simple (medición se deduce del hecho de que la preimagen de cualquier conjunto es simplemente una unión de intervalos), y puesto que f es medible así es $s_n:=\varphi_n\circ f$. Además, $s_n$ es simple, ya que tiene un número finito de valores, y la secuencia de $(s_n)_n$ es no decreciente (siempre elegimos la parte inferior de un intervalo en una partición para que sea el valor, por lo que mediante el refinado de la partición el valor sólo se puede ir hacia arriba). Además, por cada $y\ge 0$ hay una secuencia de números de la forma$\frac{k}{2^n}$, lo que tiende a y desde abajo (la prueba!), por lo $s_n\to f$.

La imagen en el de Mateo respuesta debería dar una idea de lo que pasa, pero yo le aconsejo que para dibujar a mano para algo como n=2, y hacer que sea algo más complicada que la de una línea que usted será siempre el de la imagen vívidamente después de eso.