Mostrando cerrado inmersiones son estables bajo ampliación de la base sin necesidad de utilizar que son afines.

Question

Esta pregunta se basa en la pregunta $3.11$ a partir del capítulo $2$ de Hartshorne, que se encuentra en la página de $92$.

Parte $a)$ de dicha pregunta se le pide demostrar que cierra las inmersiones son estables a base de extensión. En otras palabras, si $f:Y \rightarrow X$ es un cerrado inmersiones y $g:X'\rightarrow X$ un morfismos de esquemas, a continuación, la inducida por el mapa de $f':Z=Y\times_X X' \rightarrow X'$ también es un cerrado de inmersión.

Mi pregunta es:

¿Cómo podemos demostrar esto, sin usar que un cerrado de inmersión es afín?

Lo pregunto porque a pesar de que puede reducir al caso en que $X'$ $X$ son afines con bastante facilidad, no he sido capaz de encontrar una prueba en cualquier lugar (incluso en las preguntas relacionadas con como esta uno en el sitio) que no utilice parte de las $b)$ de la pregunta en Hartshorne, a saber, que si $X = \operatorname{Spec}A$ $Y$ es afín, y de hecho es el cerrado subscheme determinado por algún ideal de $A$. Sin esto, no veo cómo reducir el afín caso, ya que incluso si $X$ es afín, la restricción de $f$ a un arbitrario afín a la pieza de $Y$ no se necesita ser un cerrado de inmersión.

Aunque parte $b)$ no confía en la parte $a)$ y por lo tanto, se podría utilizar para acreditar la parte $a)$, no puedo dejar de pensar que si esto es lo que Hartshorne tenía en mente, lo habría cambiado el orden de alrededor. Esta es la primera vez que he tenido que usar un posterior ejercicio para demostrar de una anterior y quisiera evitarlo si es posible.

Por supuesto, es casi imposible probar que tal prueba no existe. Yo, sin embargo, aceptan una respuesta de alguien que siente que tiene suficiente experiencia como para decir que si tal prueba existe de que sería más probable que lo han visto, o que puede proporcionar algunos razonablemente convincentes heurística argumento de que no se puede hacer.

Answer 1

Como es habitual en las preguntas relacionadas con el cambio de base, uno de los enfoques para tratar la frase de todo en términos de propiedades universales, es decir, preguntar "¿qué functor no $f:Y\to X$ representan?" En este caso, la respuesta es $$\text{Schemes}_{/X}\to \text{Sets}$$ se define mediante el envío de $h:A\to X$ para el conjunto de la $\mathcal{O}_X$-módulo homomorphisms $\mathcal{O}_X/\mathcal{I}_Y\to h_*\mathcal{O}_A$ donde $\mathcal{I}_Y$ es el ideal de la gavilla de $Y$. En términos de propiedades universales, esto dice $f:Y\to X$ es caracterizado hasta único isomorfismo por el hecho de que, dado cualquier $h:A\to X$ tal que $h^\sharp:\mathcal{O}_X\to h_*\mathcal{O}_A$ factores a través de $\mathcal{O}_X/\mathcal{I}_Y$, no existe un único homomorphism $\phi:A\to Y$ tal que $h = f\circ \phi$.

Una vez que esto se ha establecido, se puede comprobar que $f':Z\to X'$ satisface esta propiedad. Dado $h:A\to X'$ tal que $h^\sharp$ factores a través de$\mathcal{O}_{X'}/\mathcal{I}_Z$, $(g\circ h)^\sharp$ factores a través de $\mathcal{O}_X/\mathcal{I}_Y$ por la conmutatividad de la retirada de la plaza. Como $f:Y\to X$ es un cerrado de inmersión, no hay una única $\phi:A\to Z$ tal que $g\circ h = f\circ \phi$. Por el universal de la propiedad de extensión de base, existe un único $\psi:A\to Z$ tal que $f'\circ \psi = h$$\mathrm{pr}_1\circ \psi = \phi$. Esta $\psi$ muestra que $f'$ satisface los de arriba "característica universal de inmersiones cerradas".

Por supuesto, queda por demostrar que los reclamos en el primer párrafo son correctos. No voy a dar demasiados detalles, pero la idea es que dado $h:A\to X$ $h^\sharp$ factoring a través de $\mathcal{O}_X/\mathcal{I}_Y$, una primera muestra de que $h(A)\subseteq f(Y)$, dando un mapa continuo $\phi:A\to Y$, y a continuación, se obtiene $\phi^\sharp:\mathcal{O}_Y\to \phi_*\mathcal{O}_A$ por contigüidad de $\mathcal{O}_X/\mathcal{I}_Y = f_*\mathcal{O}_Y \to h_*\mathcal{O}_A$, el uso de los hechos de que (1) $f^*f_*\mathcal{O}_Y\to \mathcal{O}_Y$ es un isomorfismo en el caso de inmersiones cerradas y (2) $h_*\mathcal{O}_A \cong f_*\phi_*\mathcal{O}_A$ canónicamente.