demostrando que la función continua menor que la integral es idénticamente cero

Question

$f : [0,1] \to \mathbb {R}$ es continua y $f \geq 0$ . Hay $C>0$ con $|f(x)| < C \int_ {0}^{x} |f(t)| dt$ para todos $x \in [0,1]$ . (así que $f(0)=0$ )

¿Es cierto que $f = 0$ o hay algún contraejemplo?

Gracias.

Answer 1

Sí, esto es bien conocido, pero escribiré una prueba porque no me gusta la prueba de Wikipedia en forma diferencial.

Supongamos que $f$ es no-cero-cero en algún lugar. Deje que $a= \inf\ {x:f(x) \ne 0\}$ y $b=a+ \frac {1}{ 2C}$ . Deje que $m= \max_ {[a,b]}|f|$ . Por la suposición,
$$ m \le C \int_0 ^{b}|f(t)|\,dt = C \int_a ^{b}|f(t)|\,dt \le C m(b-a)= \frac {m}{2} $$ una contradicción.