En un monoide, ¿ $x \cdot y=e$ implica $y \cdot x=e$ ?

Question

A monoide es un conjunto $S$ junto con un operación binaria $\cdot:S \times S \rightarrow S$ tal que:

• La operación binaria $\cdot$ es asociativo, es decir, $(a\cdot b) \cdot c=a\cdot (b \cdot c)$ para todos $a,b,c \in S$ .
• Hay un elemento de identidad $e \in S$ es decir, existe $e \in S$ tal que $e \cdot a=a$ y $a \cdot e=a$ para todos $a \in S$ .

Pregunta : Supongamos, $x,y \in S$ tal que $x \cdot y=e$ . Hace $y \cdot x=e$ ?

Esta cuestión fue motivada por la pregunta aquí donde el autor intenta demostrar un caso especial de lo anterior en el contexto de la multiplicación de matrices. Posteriormente se demostró, pero las pruebas requieren las propiedades de la matriz.

Intenté usar Prover9 para demostrar la afirmación. Aquí está la entrada:

formulas(assumptions).

% associativity
(x * y) * z = x * (y * z).

% identity element a
x * a = x.
a * x = x.

end_of_list.

formulas(goals).

x * y = a -> y * x = a.

end_of_list.

y devolvió sos_empty lo que, supongo, implica que no es posible demostrar la afirmación anterior sólo a partir de los axiomas de los monoides. He ejecutado Mace4 con la misma entrada, y no he encontrado ningún contraejemplo para monoides de tamaños $1,2,\ldots,82$ .

Un comentario de Martin Brandenburg aquí con respecto a las álgebras K también podría aplicarse aquí. Por ejemplo, la propiedad podría ser cierta para los monoides finitos, pero no para todos los monoides infinitos. Un contraejemplo tendría que ser (obviamente) no conmutativo.

Answer 1

Dejemos que $M$ sea el monoide de todas las funciones de $\mathbb N$ a $\mathbb N$ con la composición de funciones como operación. Sea $y(n)=n+1$ para todos $n$ , mientras que $x(n)=n-1$ pour $n\ge 1$ , $x(0)=0$ . Entonces $xy$ es la función de identidad, mientras que $yx$ no lo es.

Como conjeturas, la afirmación es cierta para los monoides finitos. Supongamos que $xy=e$ . Si tenemos un $z$ tal que $zx=e$ entonces $zxy=ey$ Así que $ze=ey$ Así que $z=y$ . Por lo tanto, basta con mostrar $x$ tiene un inverso a la izquierda $z$ . Para ello, consideremos la función $f$ de $M$ a $M$ dado por $f(a)=ax$ . Si $ax=bx$ entonces $axy=bxy$ Por lo tanto $a=b$ . Así, $f$ es inyectiva, por lo que (ya que $M$ es finito) $f$ debe ser suryente, por lo que en particular $e$ es a su imagen y semejanza, y ya está.

En resumen: todo monoide $M$ es isomorfo a un conjunto de funciones de $M$ a $M$ en la composición, y $fg=\mathrm{id} \rightarrow gf=\mathrm{id}$ sólo es válida en conjuntos finitos.

Answer 2

Si en un monoide existen un inverso izquierdo y un inverso derecho, son iguales. Sin embargo, la existencia de un inverso de la izquierda no tiene por qué implicar la existencia de un inverso de la derecha, y viceversa.

Answer 3

Dejemos que $S$ sea el conjunto de mapas $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ . Sea $f \in S$ sea el mapa definido por $f(x) = x^2$ . Desde $f$ es suryente, existe $g \in S$ tal que $f\circ g = 1$ . Desde $f$ no es biyectiva, $g\circ f \neq 1$ .