Topología del espacio de conformación de las clases de métricas

Question

Definiciones: Considerar fijos en un suave colector $M$ el espacio $\text{Met}(M)$ de Riemann métricas en $M.$ Este es un infinito de dimensiones topológicas espacio vectorial (de hecho, es un Frechet espacio).

Dos métricas $h,g \in \text{Met}(M)$ son conformemente equivalentes si existe un nonvanishing (a fortiori positivo) función suave $f$ tal que $g(-,-)=fh(-,-).$ Esto define una relación de equivalencia en $Met(M).$ definimos el cociente del espacio de $\text{Conf}(M):= \text{Met}(M)/\{\text{conformal equivalence}\}$ y dotarlo de la topología cociente.

Mi pregunta: Es claro que $\text{Met}(M)$ es contráctiles desde cualquiera de las dos métricas pueden ser unidos por una línea recta homotopy. Es cierto que $\text{Conf}(M)$ es también contráctiles?

Tenga en cuenta que tenemos la fibra secuencia $\{\text{positive functions on M}\} \to \text{Met}(M) \to \text{Conf}(M).$ Desde el primero de dos espacios son contráctiles por línea recta homotopies, se desprende de la larga secuencia exacta en homotopy grupos que $\text{Conf}(M)$ tiene fuga homotopy grupos. Si este espacio tuvo la homotopy tipo de un CW complejo, sería contráctiles por Whitehead del teorema. Sin embargo, yo no veo por qué tendría el homotopy tipo de un CW complejo...

Answer 1

Ya que no se especifica la topología en el espacio de conformación de las clases, voy a hacer mi propio. Es decir, el conjunto de la conformación de las estructuras en $M^n$ puede ser identificado con el conjunto de las reducciones de la estructura de paquete a paquete cuya estructura de grupo es la conformación del grupo de $CO(n)\cong R_+\times O(n)$. En otras palabras, es el conjunto de secciones del haz de $E$ $M$ cuyas fibras son copias de $F=GL(n,R)/CO(n)$, que es un contráctiles del colector. Por lo tanto, dotar a $Conf(M)$ $C^\infty$- compacto-abierta la topología en el espacio de secciones de $E\to M$. Ahora bien, mi respuesta a esta pregunta demuestra que $Conf(M)$ es contráctiles.