Cociente de $\textrm{GL}(2,\textbf{R})$ por la acción conjugada de $\textrm{SO}(2,\textbf{R})$

Question

Deje $\textrm{SO}_2(\textbf{R})$ actuar en $\textrm{GL}_2(\textbf{R})$ por conjugación. ¿El cociente $\textrm{GL}_2(\textbf{R})/\textrm{SO}_2(\textbf{R})$ existe como un colector?

Me hizo la misma pregunta en MO y obtuvo una respuesta negativa por el cociente $\textrm{GL}_2(\textbf{R})/\textrm{SL}_2(\textbf{R})$. Así que me gustaría saber si el cociente $\textrm{GL}_2(\textbf{R})/\textrm{SO}_2(\textbf{R})$ existe como un colector?

http://mathoverflow.net/questions/249724/quotient-of-textrmgl2-textbfr-by-the-conjugate-action-of-textrmsl

Deje $X$ ser un colector y $R$ ser una relación de equivalencia de $X$. No hay un criterio para el cociente $X/R$ a existir en Serre del libro "Lie y álgebras de Lie grupos", que dice lo siguiente. Deje $Gr\subset X\times X$ ser la gráfica de $R$. Entonces el cociente $X/R$ existe como un colector si y sólo si

(1) $Gr\subset X\times X$ es un cerrado sub colector (es decir, la inclusión $Gr\rightarrow X\times X$ es un cerrado de incrustación), y

(2) el mapa de proyección $pr_1: Gr\rightarrow X$ es una inmersión.

Pero no sé cómo comprobar los correspondientes mapas son de inmersión y sumersión o no en este caso.

Alguien puede ayudar? Cualquier comentario, sugerencia será bienvenida.

Answer 1

La pregunta de con $\mathrm{SL}_2$ es claramente negativo, ya que las órbitas no son todos cerrados.

Para $\mathrm{SO}(2)$, ya que la actuación de grupo es compacto, el cociente es Hausdorff así que esto es más razonable. En realidad, se obtiene un colector con límite, el cual puede ser completamente descrito:

Cada matriz en $M_2(\mathbf{R})$ se descompone como: $$M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}=\frac{a+d}2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}+\frac{b-c}2\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}+\frac12\begin{pmatrix} a-d & b+c \\ b+c & d-a\end{pmatrix}.$$

La conjugación de la matriz $R_t=\begin{pmatrix} \cos t& -\sin t \\ \sin t & \cos t\end{pmatrix}$ actos trivialmente en las dos primeras coordenadas y actúa como matriz $R_{2t}$ sobre el par $(a-d,b+c)$. Como consecuencia, el mapa $$\phi: M\mapsto (a+d,b-c,(a-d)^2+(b+c)^2)$$ es un fiel invariante, es decir, induce una inyección de cociente $M_2(\mathbf{R})/\mathrm{SO}(2)_{\mathrm{conj}}$ a $\mathbf{R}^3$, y más precisamente en $\mathbf{R}^2\times\mathbf{R}_+$ donde $\mathbf{R}_+$ indica no negativos reales. Este mapa es en realidad surjective, por una inmediata verificación (uso de las coordenadas $(a+d,a-d,b+c,b-c)$).

Si $\phi(M)=(x,y,z)$, podemos ver que $\det(M)=-(z-x^2-y^2)/4$. En particular, $\phi(\mathrm{GL}_2(\mathbf{R})/\mathrm{SO}(2)_{\mathrm{conj}})$ es el subconjunto abierto de $\mathbf{R}^2\times\mathbf{R}_+$ consta de los$(x,y,z)$$x^2+y^2\neq z$. Tiene dos componentes: $\{x^2+y^2<z\}$ que es un colector sin límite y corresponde a $\phi(\mathrm{GL}_2(\mathbf{R})^-/\mathrm{SO}(2)_{\mathrm{conj}})$, e $\{x^2+y^2>z\ge 0\}$, que corresponde a $\phi(\mathrm{GL}_2(\mathbf{R})^+/\mathrm{SO}(2)_{\mathrm{conj}})$, y contiene el límite de $\{z=0\}$, que es el (inyectiva) la imagen de $\mathbf{R}_{>0}\mathrm{SO}(2)$ (el grupo de positivos homotheties) en el cociente.

Añadido: también vemos que el cociente $\phi(\mathrm{SL}_2(\mathbf{R})/\mathrm{SO}(2)_{\mathrm{conj}})$ es la superficie con límite de $\{(x,y,z):z=x^2+y^2-4,z\ge 0\}$.