La topología en el espacio de las rutas

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico, y definir una ruta de acceso como un mapa continuo $\gamma : [a,b] \rightarrow X$. Dos caminos $\gamma : [a,b] \rightarrow X$ $\phi : [c,d] \rightarrow X$ equivalente ($\gamma \sim \phi$) iff existe un creciente homeomorphism $\psi: [a,b] \rightarrow [c,d]$ tal que $\phi \circ \psi = \gamma$. La clase de equivalencia de un camino es denotado por $[\gamma ]$.

Ahora definir el espacio de trayectorias $P(X) = \lbrace [\gamma]\ \vert\ \gamma : [a,b] \rightarrow X\ \text{is a path} \rbrace$.

Me pregunto: es que hay un útil o natural, de la topología que se puede poner en la $P(X)$, generado por $X$?

Generalmente las topologías son elegidos para hacer un determinado tipo de función continua, pero no puedo pensar en nada en particular, que sería un tipo natural de la función en los caminos.

Answer 1

Su equivalencia en relación parece muy adecuado para estudiar sólo la imagen de la ruta, por lo que en un espacio métrico, puede utilizar la métrica de Hausdorff en la colección de imágenes de los caminos. La métrica de Hausdorff es donde la distancia entre dos conjuntos compactos $A,B$ es el supremum de todas las distancias de $d(a,B)$ $d(b,A)$ puntos $a$$A$$B$$B$.

En esta topología, dos de equivalencia barras están cerca de si sus imágenes son casi de la misma.

Sin embargo, esto no funciona completamente bien, ya que algunos caminos tienen la misma imagen sin ser equivalentes.

Answer 2

No es la función que tiene que ser continuo a ser el que toma un camino de $\gamma$ a su clase de equivalencia?