$\mathbb{Z} _{29}$ es un campo. Verdadero o Falso.

Question

Mi respuesta era Cierto y este es mi argumento:

Desde $\mathbb{Z}_{n}$ tiene $2$ operaciones además de las otras propiedades de un anillo, pensé que de hecho es un anillo. Por otro lado, desde la $\mathbb{Z}_{n}$ es abelian (conmutativa), y tiene la identidad multiplicativa $1$, se puede concluir que es un $Commutative$ Anillo con un $identity$, por lo tanto implica que se trata de un Campo.

También he leído un teorema que establece que: "Cada finito integral de dominio es un campo".

Mi argumento es aceptable y puede que yo también uso el teorema anterior como argumento?

Su ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Sí es un campo; de forma más general $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ es un campo iff $n$ es un número primo. Pero no, tu argumento no es suficiente, pero si argumentan que es una integral de dominio (para ver este aviso que $(n)$ es un alojamiento ideal iff $n$ es 0 o un número primo; en el caso de $n=0$ esto es $\mathbf{Z}$ que no es un campo). Ciertamente no es el caso que cada anillo conmutativo es un campo, sino un campo es, por definición, un anillo conmutativo.

Para hacer que el argumento explícito para su comodidad: en Primer lugar demostrar que cada finito integral de dominio $A$ es un campo (sugerencia: para $a\neq 0$ $A$ considera la asignación de $A\rightarrow A$ definido por $x\mapsto ax$; demostrar que es inyectiva y por lo tanto bijective desde $A$ es finito). A continuación, mostrar que $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ (de un número finito de anillo para$n$$1$) es una parte integral de dominio iff $n=0$ o $n$ un prime (el uso de la clasificación de primer ideales de $\mathbf{Z}$).

Answer 2

Un anillo conmutativo con identidad no es necesariamente un campo. Usted debe revisar sus definiciones. Por ejemplo, $\Bbb Z_6$$2\cdot 3=0$, por lo tanto no es ni siquiera una parte integral de dominio.

Absolutamente puede utilizar su teorema. Tenga en cuenta que $\Bbb Z_{29}$ no tiene divisores de cero (¿por qué?), y por lo tanto es una parte integral de dominio, y, por tanto, por el teorema es un campo.

Sin embargo, uno no necesita apelar a tales maquinaria avanzada. Bezout del teorema dice que si $gcd(a,n)=1$ luego hay un par de enteros $(p,q)$ tal que $pa+qn=1$. Recogiendo $n=29$ esto demuestra que cada elemento distinto de cero de a $\Bbb Z_{29}$ es invertible (por qué?). Desde $\Bbb Z_{29}$ es un valor distinto de cero anillo conmutativo, es un campo.