Contraejemplos para "Ingenuo Inducción"

Question

Me estaba enseñando a una niña de nueve años amigo acerca de los números primos. Cuando le pregunté si él creía que había finitely o un número infinito de números primos, él respondió con confianza que debe existir un número infinito. "¿Cómo lo sabes?" Me pidió. "Porque puedo seguir pensando en más y más grande de los números primos. Es fácil!" Por medio de la prueba, él vino para arriba con un nuevo y más grande que el primer.

Yo llamo a esto "Ingenua de la Inducción" (no podría ser un mejor término). Estoy buscando no muy complicado contraejemplos donde

1. Parece ser que hay infinitamente muchos de los miembros de un conjunto, o (equivalente) que algunos de la propiedad es verdadera para todos enteros, pero

2. Se puede demostrar que no es un miembro más de la serie, o un número más grande con alguna propiedad.

Alguna sugerencia? Gracias.

Answer 1

Usted puede estar interesado en lo que Richard K. Guy ha llamado El Fuerte de la Ley de los Pequeños Números. (El enlace de arriba pasa a ser accesible. También puede buscar el original de la American Mathematical Monthly papeles, incluyendo El Segundo Fuerte de la Ley de los Pequeños Números.

Para los números primos, hay muchos ejemplos interesantes en el Primer Número de Carreras (Andrew Granville y Greg Martin). Hay bastantes razonables conjeturas acerca de la distribución de los números primos que la primera falla en números muy grandes.

Answer 2

Yo sólo vine a través de un ejemplo que realmente me recuerdan a esta pregunta. Esto viene de un chiquillo coloquio de la charla dada por T. de la Iglesia de la universidad de Stanford. Cito el resumen del seminario.

Definir una secuencia de números enteros $a_0 = 3$, $a_1 = 0$, $a_2 = 2$, y, a continuación, de forma recursiva por $a_{n+3} = a_n + a_{n+1}$. Calcular un par de términos, o unos pocos miles, y te darás cuenta de un curioso patrón: el $n$-ésimo término de $a_n$ es divisible por $n$ exactamente al $n$ es primo! El primer contra-ejemplo es $n = 271441$, por lo que $a_n$ tiene más de treinta mil dígitos.

Answer 3

Mi primer pensamiento fue el teorema de Goodstein que parece "obviamente falso",

Answer 4

Esto no es lo que estás buscando, pero es semi - relacionados.

Euler del polinomio $n^2 + n +41$ genera primos de los números enteros $n = 0$ a 39. Parece que cuando usted comience a ingresar números y la comprobación de que este siempre da un primer!