Demostrar que $(1,1,1)$ , $(a,b,c)$ , $(a^2, b^2, c^2)$ son linealmente independientes para distintos $a,b,c$

Question

Demostrar que $(1,1,1)$ , $(a,b,c)$ , $(a^2, b^2, c^2)$ son linealmente independientes, donde $a,b,$ y $c$ son números reales distintos.

Mostraré mi intento y luego indicaré dónde me atasco.

Supongamos que $c_1(1,1,1) + c_2(a,b,c) + c_3(a^2,b^2,c^2) = 0$

Esto nos lleva a las tres ecuaciones: $c_1+c_2a+c_3a^2 = c_1+c_2b+c_3b^2 = c_1+c_2c+c_3c^2 = 0$ . Ahora no estoy seguro de cómo seguro de aquí que cada $c_i$ debe ser 0. Se agradecen los consejos.

Answer 1

Nota: los tres vectores son no son linealmente independientes si $a = b$ o si $a = c$ o si $b = c$ . Así que tendrá que asumir $a, b, c$ son distintos.

Una pista: Definir el polinomio cuadrático $f(x) = c_1 + c_2 x + c_3 x^2$ . ¿Qué son $f(a), f(b), f(c)$ ? ¿Qué puede concluir sobre la raíces de $f$ ?

Answer 2

Tienes un sistema lineal de tres ecuaciones en tres incógnitas, que puedes escribir en forma de matriz como $$ A\mathbf{c} = \mathbf{0}, $$ donde $$ A = \begin{pmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} $$ is your coefficient matrix and $$ \mathbf{c} = \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 $$ es su vector desconocido. En estos términos, entonces, $(1,1,1)$ , $(a,b,c)$ y $(a^2,b^2,c^2)$ son linealmente independientes si y sólo si el sistema $A\mathbf{c} = \mathbf{0}$ tiene una solución única, si y sólo si $A$ es invertible, si y sólo si $\det(A) \neq 0$ . Pero ahora, $$ \det(A) = \begin{vmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1&a&a^2\\0&b-a&b^2-a^2\\0&c-a&c^2-a^2 \end{vmatrix}=(b-a)(c^2-a^2)-(b^2-a^2)(c-a)\\=(b-a)(c-a)\left((c+a)-(b+a) \right) = (b-a)(c-a)(c-b), $$ de lo que se deduce que $(1,1,1)$ , $(a,b,c)$ y $(a^2,b^2,c^2)$ son linealmente independientes si y sólo si $a$ , $b$ y $c$ son todos distintos.