Pruebas detalladas de $\zeta(s)-1/(s-1)$ se extiende holomorphically a $\Re(s)>0$

Question

Estoy tratando de entender la prueba de PNT por Don Zagier. Pero su prueba es demasiado simplificado, por lo que no puedo entender. Tengo bloqueado en el paso II: $\zeta(s)-1/(s-1)$ se extiende holomorphically a $\Re(s)>0$.

La prueba está disponible aquí: http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Chauvenet/Zagier.pdf

Cualquiera puede publicar un detallado prueba de que $\zeta(s)-1/(s-1)$ se extiende holomorphically a $\Re(s)>0$？

O por favor dime que libro tiene una prueba de lo que puedo mirar?

editar:
Zagier de la prueba:
$\displaystyle \zeta(s)-\frac{1}{s-1} = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} (\frac{1}{n^s}-\frac{1}{x^s}) dx$
$\displaystyle \left|\int_{n}^{n+1} (\frac{1}{n^s}-\frac{1}{x^s}) dx\right| \leq \frac{|s|}{(n^{\Re(s)+1})}$
por lo tanto, $\displaystyle \zeta(s)-\frac{1}{s-1}$ se extiende holomorphically a $\Re(s)>0$

Mi pregunta: Tenemos una función
(i) $f(s)=\sum_{1}^{\infty} g_n(s) \quad \forall \Re(s)>0$
(ii) $g_n(s) \leq |s|/(n^{\Re(s)+1}) \quad \forall \Re(s)>0$

Es (i) y (ii) la condición necesaria y suficiente para que el $f(s)$ ha holomorphic continuación?
No existen funciones de $f$ $g_n$ que satisfacen (i) y (ii), pero no tiene holomorphic continuación?
Qué necesitamos para demostrar a los de otras condiciones, por ejemplo, $g_n$ debe ser continua/holomorphic?

Answer 1

Iniciar con la definición de la serie convergente para $\Re(s)>1$: $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty t^{m-1} \mathrm{e}^{-n} \mathrm{d} t = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty t^{m-1} \frac{\mathrm{e}^{-t}}{1- \mathrm{e}^{-t}} \mathrm{d} t $$ Observe también que, para $\Re(s)>1$, $$ \frac{1}{s-1} = \frac{\Gamma(s-1)}{\Gamma(s)} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty t^{s-2} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d} t $$ Ahora restando tenemos: $$ \zeta(s) - \frac{1}{s-1} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty t^{m-1} \mathrm{e}^{-t} \left( \frac{1}{1- \mathrm{e}^{-t}} - \frac{1}{t} \right) \mathrm{d} t $$ La integral en el lado derecho converge ahora para $\Re(s)>0$, ya que en la parte inferior de integración enlazado $\frac{1}{1-\exp(-t)} - \frac{1}{t} = \frac{1}{2} + \mathcal{o}(1)$.

Answer 2

Tratando de responder a lo que yo creo que era preocupante la OP.

Revisión constantes de $a,b$ tal que $0<a<b$. Consideremos el conjunto $$L(a,b)=\{x+yi\in\mathbb{C}\mid a<x, |x+yi|<b\}.$$ The functions $g_n(z)$ are holomorphic in the set $L(a,b)$. Item $(ii)$ means that for all $z\en L(a,b)$ and all positive integers $$ n, tenemos $$ |g_n(z)|\le\frac{b}{n^{1+a}}. $$ Por lo tanto, por Weierstrass' M-test (tenga en cuenta que aquí el límite inferior en el exponente, $1+a$, no depende de la $z$, sólo en el set $L(a,b)$), la serie de $f(z)=\sum_{n=1}^\infty g_n(z)$ converge uniformemente en el conjunto $L(a,b)$ y por lo tanto da un holomorphic de la función en $L(a,b)$.

La mitad derecha del plano-es la unión de los conjuntos de $L(a,b)$, lo $f(z)$ es holomorphic allí.