El número de aves después de $n$ años

Question

Problema

Un par de aves pueden producir entre 3 a 4 aves cada año. Si empezamos con un par de aves y si un pájaro que vive habitualmente de tres años, entonces, ¿cómo muchas de las aves que tenemos después de $n$ años?

Lo que he hecho

Supuse que a la par de las aves que se inició con 1 año de edad.

Si dejamos $m\in\mathbb{N}$ y $3\leq m\leq 4$; $k_n$ el número de aves después de $n$ años, luego

$$ \begin{align*} k_1&=m+2\\ k_2&=\frac{1}{2}(m+2)^2-2\\ k_3&=\frac{1}{4}(m+2)^3-(m+2)\\ k_4&=\frac{1}{8}(m+2)^4-\frac{1}{2}(m+2)^2-m\\ k_5&=\frac{1}{16}(m+2)^5-\frac{1}{4}(m+2)^3-m(m+1) \end{align*} $$ y así sucesivamente. El problema es que solo puedo ver el patrón de la primera legislatura de $k_n$ y por lo tanto no se puede encontrar una fórmula general para $k_n$. Podría usted por favor ayuda?

Answer 1

Sabemos $$k_n=k_{n-1}+\underbrace{\frac{k_{n-1}}{2}\cdot m}_{\text{birds born this year}}-\underbrace{\frac{k_{n-4}}{2}\cdot m}_{\text{birds born 3 years ago}}$$ and also $k_{-1}=0,k_0=2,k_1=2+m,k_2=\frac{m^2}{2}+2m$.

He utilizado Mathematica para resolver esto, pero por desgracia, el resultado es demasiado tiempo para publicar aquí... (fórmula de látex tiene 50000 caracteres).

Afortunadamente, se simplifica un poco si sustituimos los valores de $m=3,4$.

Para $m=3$:

$$k_n =\frac{1}{219}(x_1\, y_1^n + x_2\, y_2^n + x_3\, y_3^n)=2,5,\tfrac{21}{2},\tfrac{105}{4},\tfrac{501}{8},\dots$$

donde el$x_i$,

$$x_i = 88y_i^2 - 40y_i + 12$$

y el $y_i$ las raíces de,

$$2y^3 - 3y^2 - 3y - 3 = 0$$

Explícitamente,

$$\pequeño k_n = \frac{1}{219} \left(\left(73+\sqrt[3]{73 \left(5767-520 \sqrt{73}\right)}+\sqrt[3]{73 \left(5767+520 \sqrt{73}\right)}\right) 2^{1-n} \left(1+\sqrt[3]{10-\sqrt{73}}+\sqrt[3]{10+\sqrt{73}}\right)^n+\left(146+i \left(\sqrt{3}+i\right) \sqrt[3]{73 \left(5767-520 \sqrt{73}\right)}+\left(-1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{73 \left(5767+520 \sqrt{73}\right)}\right) \left(\frac{1}{4} \left(2+\left(-1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{10-\sqrt{73}}+\left(\sqrt{3}+i\right) \sqrt[3]{10+\sqrt{73}}\right)\right)^n+\left(146+\left(-1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{73 \left(5767-520 \sqrt{73}\right)}+\left(\sqrt{3}+i\right) \sqrt[3]{73 \left(5767+520 \sqrt{73}\right)}\right) \left(\frac{1}{4} \left(2+i \left(\sqrt{3}+i\right) \sqrt[3]{10-\sqrt{73}}+\left(-1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{10+\sqrt{73}}\right)\right)^n\right)$$

Para $m=4$:

$$k_n=\frac{1}{134}(x_1\, y_1^n + x_2\, y_2^n + x_3\, y_3^n) = 2, 6, 16, 48, 140, 408,\dots$$

donde el$x_i$,

$$x_i = 38y_i^2 - 24y_i + 4$$

y el $y_i$ las raíces de,

$$y^3 - 2y^2 - 2y - 2 = 0$$

Explícitamente,

$$\small \frac{1}{134} 3^{-n-1} \left(2 \left(134+\sqrt[3]{134 \left(18559-909 \sqrt{201}\right)}+\sqrt[3]{134 \left(18559+909 \sqrt{201}\right)}\right) \left(2+\sqrt[3]{53-3 \sqrt{201}}+\sqrt[3]{53+3 \sqrt{201}}\right)^n+\left(268+i \left(\sqrt{3}+i\right) \sqrt[3]{134 \left(18559-909 \sqrt{201}\right)}+\left(-1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{134 \left(18559+909 \sqrt{201}\right)}\right) \left(\frac{1}{2} \left(4+\left(-1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{53-3 \sqrt{201}}+\left(\sqrt{3}+i\right) \sqrt[3]{53+3 \sqrt{201}}\right)\right)^n+\left(268+\left(-1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{134 \left(18559-909 \sqrt{201}\right)}+\left(\sqrt{3}+i\right) \sqrt[3]{134 \left(18559+909 \sqrt{201}\right)}\right) \left(\frac{1}{2} \left(4+i \left(\sqrt{3}+i\right) \sqrt[3]{53-3 \sqrt{201}}+\left(-1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{53+3 \sqrt{201}}\right)\right)^n\right)$$

Answer 2

Si se supone que cada par de aves se produce cualquiera de las $3$ o $4$ pajarillos con igual probabilidad $1/2$, entonces estoy bastante seguro de que usted puede usar simplemente un valor fijo de $m$, como $m = 3.5$. Para ver esto, suponga que empieza con $2$ de las aves. A continuación, con una probabilidad de $1/2$ cada uno tendrá bien $5$ o $6$ de las aves después de una generación. Si $5$ de las aves, a continuación, sólo tiene $2$ pares. Pero si $6$ de las aves, entonces usted tiene $3$ pares. Por lo tanto hay una mayor tendencia a tener más de $3.5$ veces más aves por generación por par de aves como pasa el tiempo. Sin embargo, el sesgo, finalmente, debe igualar por lo que el número de nuevas aves es de aproximadamente $3.5/2$ multiplicado por el número de aves en la generación anterior que viven, debido al teorema del límite central. Pero no puede ignorar los efectos en las primeras generaciones. Parece que quieren que el número ESPERADO de aves por generación, y esto parece ser un problema muy difícil. Usted puede obtener los límites de la fijación de $m = 3$ o $m = 4$, como se señaló en otra respuesta.