Demuestra que el número $14641$ es la cuarta potencia de un entero en cualquier base mayor que $6$ ?
Entiendo cómo resolverlo, porque creo que tú lo entiendes
$$14641\ ( \text {base }a > 6) = a^4+4a^3+6a^2+4a+1= (a+1)^4$$
Pero no puedo entender por qué tuvieron que especificar que la base es mayor que 6 ¿Es porque si es 4, entonces 4 será cancelado en la ecuación y si es 6, también lo será?
Por favor, avise.
Perdón por hacer una pregunta tan trivial.
Su pregunta se generaliza. La expansión de $(b+1)^n$ es claramente un perfecto $n$ el poder de cada base $b$ mayor que el mayor coeficiente binomial (el medio). Cuando $n > 4$ el coeficiente del binomio medio tiene más de un dígito (decimal), por lo que no se puede escribir la expansión usando los dígitos $0, \ldots 9$ .
Incluso más generalmente, la expansión de $(ab+c)^n$ es un perfecto $n$ el poder cuando la base $b$ es mayor que el máximo de los términos ${n \choose i}a^{i}c^{n-i}$ . Esa es la condición de que no haya acarreos cuando se calcula usando el algoritmo de multiplicación estándar (en los EE.UU.) en base $b$ .
Desafortunadamente, no se puede llegar lejos cuando se limita a la base de 10 dígitos. Los poderes numéricos de dos dígitos que puedes calcular antes de que tengas que empezar a llevarlos son $11^4 = 14641$ , $12^2 = 144$ , $13^2 = 169$ , $22^2 = 484$ y las reversiones $21^2 = 441$ y $31^2 = 961$ .
Más ejemplos:
$(110 + 1)^3 = 111^3 = 1367631$ , $112^2 = 12544$ , ...
$1111^2 = 1234321$ , ... , $(11 \ldots1 )^2 = 12345678987654321$
Para los deberes: encuéntralos todos.
Como cuestión de preferencia personal, me gusta $b$ para representar la base en lugar de $a$ .
Entonces $(b + 1)^2 = b^2 + 2b + 1$ . Y $(b^2 + 2b + 1)^2 = b^4 + 4b^3 + 6b^2 + 4b + 1$ .
Estos hechos son verdaderos si $b$ es un número entero positivo ordinario mayor que 1 o un número más "exótico", como $ \sqrt {-2}$ . Pero si $(b + 1)^4$ se representa como 14641 en base $b$ Esa es una historia ligeramente diferente.
Considere por ejemplo $b = 2$ . En efecto $3^4 = 2^4 + 4 \times 2^3 + 6 \times 2^2 + 4 \times 2 + 1$ . Pero el problema es que aquí resulta que $6 > b^2$ y $4 > b$ . Luego $4b^3$ requiere más de cuatro dígitos binarios para representar, $6b^2$ requiere más de tres bits y $4b$ requiere más de dos bits. Así que la representación binaria de 81 es 1010001 en lugar de 14641.
Algunos de estos problemas persisten a través de $b = 6$ porque aunque $4b^3 < b^4$ todavía tenemos $6b^3 > b^3$ . Entonces 2401 es 15041 en la base 6.
El entero más pequeño $b$ satisfactoria $4b^3 < b^4$ , $6b^2 < b^3$ y $4b < b^2$ es $b = 7$ . De hecho, 4096 en la base 7 es 14641.
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