Probar:$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\cdots+|x-n|\geq n-1$

Question

Probar:$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\cdots+|x-n|\geq n-1$

ejemplo1: $|x-1|+|x-2|\geq 1$

mi solución：(sustitución)

$x-1=t,x-2=t-1,|t|+|t-1|\geq 1,|t-1|\geq 1-|t|,$

la plaza,

$t^2-2t+1\geq 1-2|t|+t^2,\text{Since} -t\leq -|t|,$

así lo demostró.

pregunta1 : Es mi prueba? Alternativas?

una referencia respuesta:

$1-|x-1|\leq |1-(x-1)|=|1-x+1|=|x-2|$

pregunta2 : demostrar:

$|x-1|+|x-2|+|x-3|\geq 2$

Así que supongo que:( creo que hay un nombre sobre esto, ¿qué es eso? wiki elemento?)

$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\cdots+|x-n|\geq n-1$

Cómo probar esto? Este es pregunta3. Dudo que los dos métodos que he usado anteriormente pueden adaptarse para este caso general.

Por supuesto, la bienvenida a cualquier respuestas interesantes y buenos comentarios.

Answer 1

En realidad, $|x-n| + |x-1| = |n-x| + |x-1| \geq |n-1|=n-1$. No necesitan de los otros términos.

Su primera prueba es correcta. Usted tiene que tener cierto cuidado en movimiento de$U^2\geq V^2$$U\geq V$, pero en este caso, $U=|t-1|$ es no negativo.

Answer 2

Observe que la suma de $F(x)=|x-1|+|x-2| +\cdots +|X-n|$ es la suma de las distancias de $x$ a los puntos de $1,2,\dots,n$. Dibujar el $n$ $1,2,3,\dots,n$ en el número de la línea, teniendo en $n$ dice $7$ o $8$.

Imagina que una partícula $P$ empieza ahora a la izquierda de $1$, y se desplaza a la derecha.

Hasta que llega a la $x=1$, la suma de las distancias de $P$ $1,2,\dots, n$ está disminuyendo. En $x=1$ se convierte en $1+2+\cdots+(n-1)$.

A medida que nos desplazamos de$1$$2$, la función de $F(x)$ está disminuyendo. Para cada pequeño paso a $s$ tomamos a la derecha, aumenta la distancia de $1$$s$, pero disminuye la distancia de cada una de las $2, 3,\dots,n$$s$. Así que cada pequeño paso a $s$ tomamos disminuye el $F(x)$$(n-1)s-s$.

Si $n$ no es demasiado pequeño, esta disminución continúa. Para cada pequeño paso $s$ nos $2$ hacia $3$ aumenta la distancia de $1$$2$$s$, y disminuye la distancia de cada uno de los otros puntos por $s$, para una disminución de $(n-2)s-2s$.

Si $n$ es impar, $F(x)$ continúa descendiendo hasta que $x=\frac{n+1}{2}$, y luego por la simetría $F(x)$ empieza a aumentar. Si $n$ es incluso, a continuación, $F(x)$ alcanza un mínimo en todos los puntos entre el$\frac{n}{2}$$\frac{n+1}{2}$.

Para $n$ extraño, por decir $n=2k+1$, el valor mínimo de $F(x)$$2(1+2+3+\cdots +k)$. Esto es $k(k+1)$. Para $n$ incluso, decir $n=2k$, el valor mínimo de $F(x)$$(1+2+\cdots +(k-1))+(1+2+\cdots +k)$. Esto es $k^2$.

Volviendo a la pregunta en el post.

Queremos mostrar que si $n$ es extraño, por decir $n=2k+1$,$k(k+1) \ge 2k$, y que si $n$ es incluso, decir $2k$m, a continuación,$k^2\ge 2k-1$. Ambos son evidentes.

Comentario: Le escribí una solución con el fin de enfatizar la geometría de la situación.

Generalización: Supongamos que, en lugar de $1,2,\dots,n$ tenemos los números de $a_1 \le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n$.

Jugar el mismo juego que camina. Si $n=2k+1$ es impar, entonces $F(x)$ alcanza su mínimo en $x=k+1$. El número de $a_{k+1}$ es la mediana de nuestra $n$ números de $a_1,\dots, a_n$.

Si $n$=2k es, incluso, a continuación, $F(x)$ alcanza un mínimo en todos los puntos entre el$x=k$$x=k+1$. Cualquier $x$ puede ser visto como una mediana de la $a_i$.

Answer 3

Después de la respuesta de Thomas Andrews mi respuesta parece ser prescindible. Pero lo voy a dejar aquí como una mala alternativa. Aquí una prueba válida para cualquier $ x $ desde $ n $ es incluso. Para el caso de $ n $ impar simplemente descartar el paquete | x-n |. \begin{align} |x-1|+|x-2|+|x-3|+\ldots+|x-n| = & |x-1|+|2-x|+|x-3|+ \\ + & \ldots+|(-1)^{n+1}x+(-1)^{n}n| \\ \geq & \bigg[(1-x)+(x-2)+(3-x)+ \\ + & \ldots+(-1)^{n}x+(-1)^{n+1}n\bigg] \\ = & (-1)^1+(-1)^{2}2+(-1)^{3}3+(-1)^{4}4+\ldots \\ + & (-1)^{(n-1)}(n-1)+n(-1)^{n} \\ = & \frac{n}{2}+n(-1)^{n}= \frac{n}{2}+n\geq n \end{align}

Answer 4

(Editado)

Dado un valor real del conjunto de datos ${\bf y}=(y_k)_{1\leq k\leq n}$ la función $$f(x):=\sum_{k=1}^n |x-y_k|$$ asume su mínimo en la mediana de la $\mu$ ${\bf y}$ . Al $y_1\leq y_2\leq \ldots\leq y_n$ $n=2m+1$ $\mu=y_{m+1}$ (el "valor medio"), y si $n=2m$ $f$ es en realidad constante en el intervalo de $[y_m,y_{m+1}]$, y se define el $\mu:=(y_m+y_{m+1})/2$.

Prueba. Cuando hay $r$ $y_k$ a la derecha de $x$ que a la izquierda de $x$ aumentar $x$ $\Delta x$ disminuirá $f$$r\cdot\Delta x$, y del mismo modo, cuando hay $r$ $y_k$ a la izquierda de $x$ que a la derecha de $x$ aumentar $x$ $\Delta x$ aumentar $f$ por $r\cdot \Delta x$.$\qquad\square$

De ello se desprende que su suma $s(x)$ es mínima en $x={n+1\over2}$. Es entonces fácil de calcular, a $s_{\min}=n^2/4$ al $n$ es incluso y $s_{\min}=(n^2-1)/4$ al $n$ es impar.

Al $n=1$ tenemos $s_{\min}=0=n-1$, y en el caso de $n=2$ tenemos $s_{\min}=1=n-1$. Para $n\geq3$ podemos argumentar de la siguiente manera: $$s_{\min}\geq{n^2-1\over 4}={(n-2)^2-1\over4}+n-1\geq n-1\ .$$

Answer 5

Quieres $S(x) =\sum_{i=1}^n |x-i|$.

Voy a mostrar

$\begin{cases} \text{if } x \le 1&S(x) \ge \dfrac{n(n-1)}{2}\\ \text{if } x \ge n &S(x) \ge \dfrac{n(n-1)}{2}\\ \text{otherwise} &S(x) \ge \dfrac{n^2-1}{4} \end{casos} $

Resultados exactos son

$\begin{cases} \text{if } x \le 1, & S(x) = n(1-x) + \dfrac{n(n-1)}{2}\\ \text{if } x \ge n, & S(x) = n(x-n)+ \dfrac{n(n-1)}{2}\\ \text{if } j\le x < j+1 \text{ where } 1 \le j < n, &S(x) = \dfrac{n^2+(n-2x+1)^2-(1-2y)^2}{4}\text{ where } y=x-j \end{casos} $

Como un cheque, estos son los correctos para $x=0, 1, n$, y $n+1$.

Consideramos tres casos: $x \le 1$, $x \ge n$, y $1 < x < n$.

Si $x \le 1$, entonces $|x-i| = -x+i$, así

$\begin{align} S(x) &= \sum_{i=1}^n (-x+i)\\ &=-nx + \frac{n(n+1)}{2}\\ &=n(1-x)-n+ \frac{n(n+1)}{2}\\ &=n(1-x) +\frac{n(n-1)}{2}\\ \end{align} $

Si $x \ge n$, entonces $|x-i| = x-i$, así

$\begin{align} S(x) = \sum_{i=1}^n (x-i) &=nx - \frac{n(n+1)}{2}\\ &=n(x-n)+n^2 - \frac{n(n+1)}{2}\\ &=n(x-n) \frac{2n^2-n(n+1)}{2}\\ &= n(x-n)+\frac{n^2-n}{2}\\ &= n(x-n)+\frac{n(n-1)}{2}\\ \end{align} $

Si $j \le x < j+1$ donde $1 \le j < n$, deje $y = x-j$, por lo $0 \le y < 1$. Entonces

$\begin{align} S(x) &=\sum_{i=1}^n |x-i|\\ &=\sum_{i=1}^n |j+y-i|\\ &=\sum_{i=1}^j |j+y-i|+\sum_{i=j+1}^n |j+y-i|\\ &=\sum_{i=1}^j (j+y-i)+\sum_{i=j+1}^n -(j+y-i)\\ &=\sum_{i=1}^j (j+y-i)+\sum_{i=j+1}^n (i-j-y)\\ &=jy+\sum_{i=0}^{j-1} (i)-(n-j)y+\sum_{i=1}^{n-j} (i)\\ &=(2j-n)y+\frac{j(j-1)+(n-j)(n-j+1)}{2}\\ &=(2j-n)y+\frac{j^2-j+(n-j)^2+(n-j)}{2}\\ &=(2j-n)y+\frac{(n^2+(n-2j)^2)/2+(n-2j)}{2}\quad (*)\\ &=(2j-n)y+\frac{n^2+(n-2j)^2+2(n-2j)}{4}\\ &=\frac{n^2+(n-2j)^2+2(n-2j)-4y(n-2j)}{4}\\ &=\frac{n^2+(n-2j)^2+2(1-2y)(n-2j)}{4}\\ &=\frac{n^2+(n-2j+1-2y)^2-(1-2y)^2}{4}\\ &=\frac{n^2+(n-2x+1)^2-(1-2y)^2}{4}\\ &\ge \frac{n^2-1}{4}\\ \end{align} $

Nota: La línea marcada "(*)" que se utiliza $a^2+b^2 = \dfrac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}$.