Comprendiendo una Derivada del Coseno

Question

Sea $c$ una constante. ¿Por qué es que

$$ D_x \left(- \frac{\cos(cx)}{c} \right) = \sin(cx)? $$

Entiendo que $D_x \cos(x) = - \sin(x)$. Entonces, ¿qué identidad trigonométrica nos permite inferir lo anterior?

Answer 1

Simplemente estás utilizando la regla de la cadena. Por lo tanto, obtienes al usar $D_x\cos(x) = -\sin(x)$ y $D_x(cx) = c$ que $$ D_x \left(- \frac{\cos(cx)}{c} \right) = - c \frac{-\sin(cx)}{c} = \sin(cx) $$ Espero que eso te ayude :)

Answer 2

$$f(x) = {-\cos (cx) \over c}$$ $$\begin{align} f^\prime(x) & = \lim_{h \to 0} {{{-\cos (c(x + h)) \over c} - {-\cos (cx) \over c}}\over h}\\ & = \lim_{h \to 0} {\cos (cx)-\cos (c(x + h)) \over hc}\\ & = \lim_{h \to 0} {-2 \sin ({cx + cx + ch \over 2})\times\sin ({cx - cx - ch \over 2}) \over hc}\\ & = \lim_{h \to 0} {2 \sin (cx + {ch \over 2})\times \sin ({ch \over 2}) \over hc}\\ & = \lim_{h \to 0} {\sin (cx + {ch \over 2})\times\sin ({ch \over 2}) \over {hc \over 2}}\\ & = \sin (cx)\times\lim_{h \to 0} {\sin ({ch \over 2}) \over {hc \over 2}}\\ & = \sin (cx) \end{align}$$

¡Si no te gusta la regla de la cadena :)

Answer 3

Por De Moivre,

$$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n.$$

Luego, por la derivada de una potencia,

$$(\cos(nx)+i\sin(nx))'\\ =\left((\cos(x)+i\sin(x))^n\right)'\\ =n(\cos(x)+i\sin(x))^{n-1}\left(\cos(x)+i\sin(x)\right)'\\ =n\left((\cos((n-1)x)+i\sin((n-1)x))^{n-1}\right)\left(-\sin(x)+i\cos(x)\right)\\ =n\left((-\cos((n-1)x)\sin(x)-\sin((n-1)x)\cos(x)\\ -i\sin((n-1)x)\sin(x)+i\cos((n-1)x)\cos(x)\right)^{n-1}\\ =n(-\sin(nx)+i\cos(nx)),$$ lo que establece la afirmación para todos los enteros $n$.

Pero todo esto es un martillo pesado y tonto en comparación con el simple uso de la regla de la cadena.

Answer 4

Sea, $f\left( x \right) =\cos { x } ,g\left( x \right) =cx\quad $ entonces la composición de $f$ y $g$ será $f\circ g=f\left( g\left( x \right) \right) \quad =\cos { \left( cx \right) } $ sabemos por la regla de la cadena que $$\\ f^{ \prime }\left( g\left( x \right) \right) =f^{ \prime }\left( g\left( x \right) \right) \quad g^{ \prime }\left( x \right) $$ y consideramos que $D_{ x }\left( f\left( x \right) \right) =-\sin { \left( cx \right) } \\ { D }_{ x }\left( g\left( x \right) \right) =c$

obtenemos $$D_{ x }\left( -\frac { \cos (cx) }{ c } \right) =-\frac { 1 }{ c } { D }_{ x }\left( \cos { \left( cx \right) } \right) =-\frac { 1 }{ c } \cdot \left( -\sin { \left( cx \right) } \right) \cdot c=\sin { \left( cx \right) } \\ $$

Answer 5

\begin{align} y & = \cos(cx) \\[10pt] y & = \cos u & u & = cx \\[10pt] \frac{dy}{du} & = -\sin u & \frac{du}{dx} & = c \end{align}

Ahora aplicamos la regla de la cadena: $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \Big(-\sin u\Big) \cdot c = \Big(-\sin(cx)\Big) \cdot c. $$