Evaluar $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_x^{4x} \cos\left(\frac{1}{t}\right) \mbox {d}t$

Question

Evaluar $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_x^{4x} \cos\left(\frac{1}{t}\right) \mbox {d}t$$

Me han sugerido que defina dos funciones como $g(x) = x$ y $f(x) = \int_x^{4x}\cos\left(\frac{1}{t}\right)dt$ así que si pudiera probar que ambos fueron a $\infty$ como $x$ fue a $\infty$ Entonces podría usar la regla de L'Hôpital sobre $\frac{f(x)}{g(x)}$ pero no pude hacerlo por $f(x)$ .

Puedo ver que el límite es 3 si simplemente sigo adelante y diferencio ambas funciones y tomo el cociente de los límites, pero por supuesto esto es inútil sin encontrar mi forma intermedia original.

¿Cómo puedo demostrar que $\frac{f(x)}{g(x)}$ está en forma intermedia? o ¿de qué otra manera podría evaluar el límite original?

Answer 1

Para otros métodos de resolución del límite se puede utilizar el teorema del valor medio:

$$\frac{1}{x} \int_x^{4x} \cos \frac{1}{t} \; dt = \frac{3x \cos \frac{1}{c}}{x}$$ para algunos $c \in (x,4x)$ . Ahora bien, cuando $x \to +\infty$ por el teorema de squeeze obtenemos $3$ como resultado.

Answer 2

Sugerencia: Cuando $t \to + \infty$ , $\cos(1/t) \to ?$

Answer 3

Para $x\ge\dfrac2\pi$ , La convergencia dominada dice $$ \begin{align} \lim_{x\to\infty}\frac1x\int_x^{4x}\cos\left(\frac1t\right)\,\mathrm{d}t &=\lim_{x\to\infty}\int_1^4\cos\left(\frac1{xt}\right)\,\mathrm{d}t\\ &=\int_1^41\,\mathrm{d}t\\[9pt] &=3 \end{align} $$

Answer 4

Dejemos que $y = 1/t$ . Entonces la integral se convierte en \begin{align} I & = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac1x \int_x^{4x} \cos(1/t) dt = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac1x \int_{1/x}^{1/(4x)} \cos(y)\dfrac{-dy}{y^2}\\ & = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac1x \int_{1/(4x)}^{1/x} \dfrac{\cos(y)}{y^2} dy \end{align} Ahora utilice la serie de Taylor para $\cos(y)$ y utilizar el DCT para intercambiar el límite y la integral. O, de forma equivalente, se puede escribir $\cos(y) = 1 + \mathcal{O}(y^2)$ y luego proceder. \begin{align} I & = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac1x \int_{1/(4x)}^{1/x} \dfrac{dy}{y^2} + \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac1x \int_{1/(4x)}^{1/x} \mathcal{O}(1) d y = \lim_{x \rightarrow \infty} \left(\dfrac1x \left. \left( - \dfrac1y \right \rvert_{1/(4x)}^{1/x} \right) + \mathcal{O}(1/x^2) \right)\\ & = \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac1x \left( -x + 4x\right) = 3 \end{align}