Deje $G$ ser un grupo finito y ${\tt stmod}(G)$ estable la categoría de módulo de $G$, es decir, la categoría cuyos objetos son $G$-módulos y cuyos morfismos son $G$-módulo homomorphisms modulo aquellos que factor a través de un módulo proyectivo.
Es cierto que dos de los módulos $M$ $N$ son isomorfos en el establo en la categoría de módulo si y sólo si hay projectives $P$ $Q$ y un isomorfismo $M \oplus P \simeq N \oplus Q$ $G$- módulos?
Es fácil demostrar que si $M \oplus P \simeq N \oplus Q$ $M$ $N$ son isomorfos en ${\tt stmod}(G)$. Pero la otra dirección me escapa. Si $M$ $N$ son isomorfos en ${\tt stmod}(G)$, entonces hay mapas de $\phi\colon M \to N$ $\psi\colon N \to M$ tal que $\phi\psi - \operatorname{id}_N$ $\psi\phi - \operatorname{id}_M$ factor a través de projectives $P$ $Q$ respectivamente. Traté de definir un homomorphisms entre el $M \oplus P$ $N \oplus Q$ el uso de la factorización de estos mapas, pero no puedo averiguar cómo hacerlo, de modo que la inversa de cada una de las otras.
