Los números complejos y la geometría de Cuatro números complejos acostado en un círculo

Question

Estoy atascado en un problema de ¿Qué es la Matemática?, por Courant y Robbins. La formulación es la siguiente:

Probar que si para cuatro números complejos $z_1$, $z_2$, $z_3$ y $z_4$, los ángulos de $\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}$ $\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}$ son los mismos, entonces los cuatro números de la mentira en un círculo o en una línea recta, y a la inversa.

En un ejercicio anterior he interpretado el ángulo de $\frac{z_1-z_2}{z_1-z_3}$ el (orientado a) el ángulo entre los vectores $z_1-z_3$ $z_1-z_2$ , así que me imagino que debo utilizar algún tipo de argumento geométrico, pero no puedo encontrar nada útil (probablemente mi geometría de conocimiento es deficiente). Yo he probado un montón de diferentes manipulaciones algebraicas para demostrar que los cuatro puntos se encuentran en un círculo, pero el tiempo se convierten en extremadamente incómodo y creo que el problema no puede ser tan difícil...

Cualquier idea sobre algunas de simple geométrica o algebraica argumento para demostrar la validez de la proposición?

Answer 1

Vamos $z_1$, $z_2$ y $z_3$ ser no-alineados.

Ahora, dibuje un círculo que pasa a través de $z_1$, $z_2$ y $z_3$.

Tome $\overline{z_1 z_2}$ como un acorde.

Ahora buscando el ángulo de $\widehat{z_1 z_2 z_3} = \theta$, el acorde subtienda el mismo ángulo en cada punto del círculo (y no cualquier otro punto). Ahora para el ángulo $\widehat{z_1 z_4 z_2} = \theta$, se tiene que estar en el círculo: por lo tanto, la primera parte está probado.

Segundo caso, $z_1$, $z_2$ y $z_3$ son colineales y por lo tanto $\theta$ $0$ o $\pi$.

Por lo tanto el ángulo de $\widehat{z_1 z_4 z_2}$ es cero o $\pi$ lo que implica que ellos sean colineales y así todos los cuatro para ser colineales.