Una ecuación que genera una forma hermosa o única para motivar a los estudiantes en matemáticas

Question

¿Podría alguien aquí proporcionarnos una ecuación que genere una forma hermosa o única cuando la graficamos? Por ejemplo, esto es viejo pero bueno, encontré esta ecuación en internet: $$ \large\color{blue}{ x^2+\left(\frac{5y}{4}-\sqrt{|x|}\right)^2=1}. $$ Cuando grafico en Wolfram Alpha, el resultado es

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La razón por la que publico esta pregunta no es solo por diversión o por simple curiosidad, sino también para motivar a mis estudiantes y a los niños que me rodean a que les guste y aprendan matemáticas con más entusiasmo, porque motivar a los estudiantes para que estén receptivos con entusiasmo es uno de los aspectos más importantes de la educación matemática. Un buen maestro debe centrar la atención tanto en los estudiantes menos interesados como en los motivados. He aprendido de mi experiencia de 3 años enseñando que las buenas estrategias para aumentar la motivación de los estudiantes en matemáticas son atraer a la clase con un resultado matemático sorprendente y utilizar temas recreativos que consistan en rompecabezas, juegos, paradojas, experimentos y imágenes / animaciones de video. Todos sabemos que 'una imagen vale más que mil palabras'.

Answer 1

Me gustaría mencionar Espirografos.

De hecho, las fórmulas son bastante simples, pero temo que mi habilidad con Latex no es suficiente para reproducirlas aquí adecuadamente. Por lo tanto, simplemente haré referencia a la página de Wikipedia y algunas imágenes de ejemplo (también de Wikipedia):

Answer 2

Los fractales siempre son una buena fuente de imágenes. No es demasiado difícil explicar el concepto detrás de un fractal, y luego los estudiantes pueden disfrutar de las bonitas representaciones. Algunos de ellos también son fáciles para que los estudiantes jueguen por sí mismos --- para el copo de nieve de Koch, la curva del dragón o el gasket de Sierpinski, no es necesario conocer ninguna teoría de funciones complejas. Los fractales también pueden llevar a interesantes discusiones sobre "infinito".

¡Edit: Debería haber leído la pregunta más cuidadosamente! Ecuaciones. Permítanme intentar rescatar mi búsqueda de bonitas imágenes en Google ...

A menudo los fractales surgen de la aplicación iterada de una sola función (conjuntos de Julia en $\mathbb{C}$ de $z^2 + c$ como madre de todos los ejemplos), por lo que corresponden a conjuntos de solución de una ecuación con expresiones infinitamente anidadas. También podrías escribir el procedimiento para generar el copo de nieve de Koch o la curva del dragón como una ecuación. (Formalmente, el primero se llama "hacer copos de nieve de una métrica", pero la notación y los conceptos probablemente están un poco por encima de tu audiencia). Esto también ayuda a resaltar que, desde una perspectiva, las funciones son procedimentales.

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Answer 3

Curvas polinómicas de la forma $\displaystyle\sum_{k=0}^na_k\cdot x^{2k}\cdot y^{2(n-k)}=r^{2n}$, con $a_k=a_{n-k}$. Esto es para el caso

$n=4$ y $r=2$, con $a_0=a_4=0.1$, $a_1=a_3=4$ y $a_2=-7$. Al modificar los parámetros,

se pueden formar formas muy diferentes.

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Más gráficos en forma de estrella, determinados trazando la ecuación polar $r(t)=|\cos(nt)|^{\sin(2nt)}$

para $2n$ entre $1$ y $8$, y $t\in(0,2\pi)$.

Answer 4

Por supuesto, las curvas del corazón son realmente bonitas, al igual que las rosas o cicloides.

Pero si estás buscando algo realmente genial, ¿qué tal la curva de Albert Einstein? Esta ecuación paramétrica realmente produce a 2Pac. Gauss también es interesante.

WolframAlpha puede graficar otras curvas de personas. Mi favorita es la de Nicolas Cage.

Answer 5

Aquí hay una forma de generar un montón de curvas periódicas intrigantes (la mayoría de las veces) dibujadas agregando números complejos de longitud unitaria de la forma

$$e^{2\pi i m} \ \ \ \text{con} \ \ \ m:=\dfrac{n}{a}+\dfrac{n^2}{b}+\dfrac{n^3}{c}$$

para $0 \le n < abc$, donde $a,b,c$ son enteros positivos fijos.

Aquí se muestran algunas de ellas con los valores correspondientes de $a,b,c$ :

Por favor note que a veces se pueden generar dos curvas iguales, como las formas parecidas a un reloj de arena en las posiciones 1 y 3, con diferentes valores de $a,b,c$.

Aquí está el programa de Matlab que ha generado estas 25 curvas :

clear all;close all;
set(gcf,'color','w');axis equal off;hold on
for P=1:5
   for Q=1:5;
      V=ceil(9*rand(1,3));a=V(1);b=V(2);c=V(3);L=a*b*c;
      S=zeros(1,L+1);
      for n=0:L;
         m=n/a+(n^2)/b+(n^3)/c;
         S(n+1)=exp(2*pi*i*m);
      end
      S=cumsum(S);
      M=mean(S);S=S-M;R=max(abs(S));S=S/R;
      shi=3*(P+i*Q);
      plot(shi+S);
      text(real(shi),-1.5+imag(shi),num2str(V),'horizontalalignment','center');
   end;
end;

Observaciones :

1) Esta idea proviene del logo explicado que se puede encontrar aquí : https://math.stackexchange.com/users/119775/david

2) Acerca de los espirógrafos, se puede utilizar la siguiente espléndida simulación : https://nathanfriend.io/inspirograph/