Ayuda con el producto Cartesiano de los subconjuntos de

Question

Quiero demostrar que si $A \subseteq C\,$ $\,B \subseteq D,\,$ $\,A \times B \subseteq C \times D.$

Sé que $A \subseteq C \iff a \in A \rightarrow a \in C$ y $B\subseteq D\iff b \in B \rightarrow b \in D$ también sé que $A \times B = \{(a, b)\mid a\in A, b\in B\}$ y $C\times D = \{(c, d) \mid c \in C, d \in D\}$.

Así que tenlo en mente, ¿cómo puedo conectar los puntos?

Answer 1

Deje $(x,y)$ ser un punto arbitrario en $A \times B$.usted necesita demostrar que $(x,y)$$C \times D$.
ahora $(x,y)$ ser un punto arbitrario en $A \times B \implies x \in A \subseteq C ,y \in B \subseteq D $

Answer 2

Usted tiene todas las piezas.

Quiere mostrar que cada elemento de a $A\times B$ es un elemento de $C\times D$, así que empieza con un elemento arbitrario de $A\times B$. ¿Qué tal un elemento? Es $\langle a,b\rangle$ algunos $a\in A$$b\in B$. Desde $a\in A$, usted sabe que $a\in C$, y desde $b\in B$, usted sabe que $b\in D$. Ahora, ¿qué se puede concluir acerca de la $\langle a,b\rangle$?

Answer 3

Aquí es un poco más formal para conectar los puntos: a partir de las más complejas de expresión, vamos a tratar de ampliar las definiciones y simplificar: \begin{align} & A \times B \subseteq C \times D \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of %#%#%"} \\ & \langle \forall p : p \in A \times B : p \in C \times D \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"basic property of %#%#%, twice: split %#%#% into its components %#%#% and %#%#%"} \\ & \langle \forall x,y : x \in A \land y \in B : x \in C \land y \in D \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: split range -- to try and separate %#%#% and %#%#%"} \\ & \langle \forall x,y : x \in A \land y \in B : x \in C \rangle \;\land\; \langle \forall x,y : x \in A \land y \in B : y \in D \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: in LHS, bring %#%#% to the only place where it is used; same for %#%#% in RHS"} \\ & \langle \forall x : x \in A \land \langle \exists y :: y \in B \rangle : x \in C \rangle \;\land\; \langle \forall y : \langle \exists x :: x \in A \rangle \land y \in B : y \in D \rangle \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: in LHS, extract %#%#%-less part from %#%#%; same for %#%#% in RHS"} \\ & (\langle \exists y :: y \in B \rangle \Rightarrow \langle \forall x : x \in A : x \in C \rangle) \;\land\; (\langle \exists x :: x \in A \rangle \Rightarrow \langle \forall y : y \in B : y \in D \rangle) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of %#%#%, twice; definition of %#%#%, twice; write %#%#% as %#%#%, twice"} \\ & (B = \emptyset \lor A \subseteq C) \;\land\; (A = \emptyset \lor B \subseteq D) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"add %#%#% to LHS since %#%#% implies %#%#%; same for RHS; simplify"} \\ & A = \emptyset \lor B = \emptyset \lor (A \subseteq C \land B \subseteq D) \\ \end{align} Esto implica inmediatamente la declaración original.

Sí, este es más largo que el de las otras respuestas. Sin embargo, observe cómo en la mayoría de los puntos en realidad sólo hay una cosa que podamos hacer para que el progreso: este tipo de prueba es fácil de (re)construir. Y también se nota que no hemos perdido ninguna información, por lo que nos resultó algo más general que se pidió originalmente, viz., una equivalencia que correctamente las cuentas para el manejo del caso particular de la $\subseteq$.