Cómo Interpretar las Escalas de Tiempo en un Sistema Dinámico de

Question

Aquí tengo una pregunta acerca de las escalas de tiempo en la dinámica de los sistemas de referencia se puede ver en la pregunta anterior que estimula esta:

Minimizar el costo de una ruta de acceso en un sistema dinámico de

Esa pregunta fue acerca de cómo encontrar el camino de coste mínimo de $0$ $c$sobre la línea real, donde el costo es cuadrática en el tamaño del paso en cada momento $t$, y hubo una tendencia hacia 0 de $-P(t)$, $P(t)$ siendo su posición en el momento $t$. La pregunta es, ¿cuál es el costo mínimo de ruta, al minimizar el tamaño de paso de cada período, y el número de pasos, con la única restricción de que eventualmente llegar a $c$.

La solución en este tiempo discreto problema es ver que el problema es esencialmente lineal con restricciones lineales, y una solución fácil para caracterizar una determinada longitud de ruta de acceso de $T$, y cuyo costo es decreciente en $T$, por lo que el coste mínimo de ruta es tomar una cantidad infinita de tiempo para ir de s a $c$. Tomando muy en pasos muy pequeños es el camino a seguir. Bien, la pregunta es contestada.

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Puede, a continuación, parece natural preguntarse, "¿Qué acerca de la continua tiempo de analógico a ese problema?" Es decir, si la dinámica original están dadas por

$$ P(t) = (1-\gamma) P(t-1) + \gamma x(t) $$

donde $\gamma<1$ límites rápido me puedo mover, y que puede ser escrito

$$ \frac{P(t)- P(t-1)}{\gamma} = - P(t-1) +x(t), $$

Lo que si enviamos $\gamma$ a cero, esencialmente discretizar el intervalo de tiempo más fino y más fino? El problema, entonces, se vuelve a resolver el siguiente problema: Minimizar el costo:

$$ \int _1^T ( x(t))^2 dt, $$

sujeto a la restricción de que P(0) = 0, P(T) = c, y P va de 0 a c, y $P$ sigue la siguiente dinámica:

$$ \dot{P} = -P(t) + x(t) $$

La restricción es esencialmente $P$ resuelve una determinada DISTANCIA. Pido mathematica acerca de ello, y estoy informado de que $P$ tiene la siguiente forma:

$$ P(z) = e^{-z} ( K + \int_1^{z} e^t x(t) dt), $$

donde $K$ es una constante de integración. Así, la adición de las condiciones de frontera, la restricción en el problema de minimización es que

$$ e^{-T} \int_1^{T} e^t x(t) dt = c, $$ es decir, todo lo $x(t)$ es, $P$ a $c$ tiempo $T$. Así que el lagrangiano es

$$ L = \int _1^T ( x(t))^2 dt - \lambda (e^{-T} \int_1^{T} e^t x(t) dt - c) $$

Pero tenga en cuenta, al igual que antes, este lagrangiano es simplemente cuadrática en $x(t)$, y puede ser resuelto por un determinado $T$.

Cuando le pregunto a mathematica para hacerlo, me parece que

$$ x(t) = \frac{e^t c}{e^{t-1} - e}, $$ Que es muy simple, lineal en la distancia a ser movido $c$. Tenga en cuenta que esto no depende de la $T$, el tiempo total de la longitud de la ruta; de hecho, cuando nos minimizar el costo con respecto a $T$, encontramos que el costo en minimizadas para $$ T = \frac{1}{2} (1 - 2 ProductLog[-1, -(1/(2 \sqrt{e}))]), $$ donde "ProductLog(-1,z)" es de mathematica forma de cálculo de la función W de Lambert. Para un finito $T$ es minimizar el costo, y es acerca de 2.25643.

Ahora, esto no es necesariamente una contradicción para el caso discreto; después de todo, un período de tiempo limitado en el modelo continuo, es un infinito número de períodos en los que el modelo es discreto, por lo que las respuestas no están en conflicto. Sin embargo, la respuesta en el modelo continuo, podría fácilmente haber sido "infinita cantidad de (continua) de tiempo," pero no fue así. Mis preguntas son

1. ¿Por qué no?
2. Cómo interpretar el valor de costo-minimización $T$ -, ¿qué significa? Cuánto "tiempo"?

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El punto de todo esto es "justificar" algunos simluations del sistema discreto que estamos haciendo, tenemos un problema en el que estamos simulando impactos aleatorios para un sistema dinámico, y tenemos algunos teoremas que decir, el tiempo medio para escapar de desde algún punto es una función de este problema de minimización de costes, es decir, el costo de minimizar la manera de escapar es la dominante, la forma de escapar, la forma más probable de escapar. Pero vamos a tener un tiempo difícil la interpretación de minimizar el costo de escape; se dice que en el caso discreto, la dominante de escape debe tomar una cantidad infinita de tiempo, mientras que en el caso continuo(que los teoremas son en realidad escrito por), se necesita una cantidad finita de tiempo, un tiempo que parece no tener nada que ver con la distancia de intentar ser escapado!

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Bueno, obviamente, nadie tenía nada que decir sobre este tema es debido a un mal enmarcada pregunta? Sería esta pregunta sea más apropiado en mathoverflow?

Answer 1

Esta pregunta sigue siendo golpeado por la Comunidad bot, así que supongo que debería tratar de dar una respuesta apropiada. $\newcommand{\d}{\mathrm d}$

Desea minimizar $\int_0^T x(t)^2\ \d t$$\dot P(t) = -P(t) + x(t)$, sujeto a las restricciones $P(0) = 0$$P(T) = c$. Esta es, esencialmente, un problema en el cálculo de variaciones. Su Lagrange, es decir, el integrando en la función objetivo, es $\mathcal L(t,P,\dot P) = x^2 = \big(P + \dot P\big)^2$. La solución óptima para $P(t)$ debe satisfacer el correspondiente Euler-Lagrange ecuación, $$\begin{align} 0 &= \frac{\partial \mathcal L}{\partial P} - \frac{\d}{\d t}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot P} \\ &= 2(P + \dot P) - \frac{\d}{\d t}\big(2(P + \dot P)\big) \\ &= 2(P - \ddot P). \end{align}$$ La aplicación de dichas condiciones de contorno de los rendimientos de una única solución a esta ecuación diferencial, $$P(t) = a(e^t - e^{-t}),$$ donde $a = c/(e^T - e^{-T})$. El correspondiente $x(t)$$2ae^t$, y el costo total es de $$\int_0^T x(t)^2\ \d t = 2a^2(e^{2T}-1) = \frac{2c^2}{1 - e^{-2T}}.$$ Como en el caso discreto, el costo disminuye asintóticamente con $T$.

En su derivación, estás bien hasta el $e^{-T} \int_0^{T} e^t x(t)\ \d t = c$; sospecho que el problema está en algún lugar entre el lugar donde se define su Lagrange $$L = \int _1^T x(t)^2\ \d t - \lambda \left(e^{-T} \int_1^{T} e^t x(t)\ \d t - c\right)$$ and where you get Mathematica to solve it. I'm not really sure what you did there, but if I make a heuristic and totally nonrigorous argument that $\dfrac{\partial L}{\partial x(t)} = 0$, I get $2x(t)\ \d t - \lambda e^{-T}e^t\ d t = 0$, or $x(t) = \text{const}\cdot e^{t}$, en consonancia con mi solución.