Subgrupo generado por un conjunto

Question

Un subgrupo generado por un conjunto se define como ( de Wikipedia ):

En términos más generales, si S es un subconjunto de un gro generado por S, es el subgrupo más pequeño de G que contiene cada elemento de S, es decir, la intersección sobre todos los subgrupos que contienen los elementos de S; equivalentemente, es el subgrupo de todos los elementos de G que pueden expresarse como el producto finito de los elementos de S y sus inversos.

¿Cómo se demuestra que esas afirmaciones son equivalentes? Si la respuesta es demasiado amplia para exponerla aquí, le agradecería que me indicara las páginas (o libros) pertinentes.

Gracias de antemano.

Answer 1

Se trata de la típica construcción de una subestructura de arriba abajo frente a la de abajo arriba. Véase el debate general aquí .

Sea $S\subseteq G$ . Dejamos que $$K = \bigcap_{S\subseteq M\leq G}M$$ y $$H = \Bigl\{s_1^{\epsilon_1}\cdots s_m^{\epsilon_m}\mid m\geq 0,\ s_i\in S,\ \epsilon_i\in\{1,-1\}\Bigr\}.$$

Queremos demostrar que $K=H$ .

Tenga en cuenta que si $M$ es un subgrupo de $G$ y $S\subseteq M$ entonces cada elemento de $H$ debe estar en $M$ ya que $M$ es cerrado bajo productos e inversos y contiene cada $s_i\in S$ . Así, $H\subseteq K$ .

A la inversa, para demostrar $K\subseteq H$ basta con demostrar que $H$ es un subgrupo de $G$ que contiene $S$ . Para ver que $S\subseteq H$ , dejemos que $s\in S$ . Dejar $m=1$ , $\epsilon_1=1$ y $s_1=s$ tenemos $s\in H$ Así que $S\subseteq H$ .

Para ver que $H$ es un subgrupo de $G$ Obsérvese que $H$ no es vacío: seleccionando $m=0$ obtenemos el producto vacío, que por definición es la identidad de $G$ . Así que $1\in H$ .

Sea $s_1^{\epsilon_1}\cdots s_m^{\epsilon_m}$ y $t_1^{\eta_1}\cdots t_n^{\eta_n}$ con $m,n\geq 0$ , $\epsilon_i,\eta_j\in\{0,1\}$ y $s_i,t_j\in S$ sean elementos de $S$ . Entonces $$\Bigl( s_1^{\epsilon_1}\cdots s_m^{\epsilon_m}\Bigr)\Bigl(t_1^{\eta_1}\cdots t_n^{\eta_n}\Bigr)^{-1} = r_1^{\chi_1}\cdots r_{n+m}^{\chi_{n+m}}$$ donde $$\begin{align*} r_i &= \left\{\begin{array}{ll} s_i &\text{if }1\leq i\leq m\\ t_{n+m-i+1} & \text{if }m\lt i\leq n+m \end{array}\right.\\ \chi_i &= \left\{\begin{array}{ll} \epsilon_i &\text{if }1\leq i\leq m\\ -\eta_{n+m-i+1} & \text{if }m\lt i\leq n+m \end{array}\right. \end{align*}$$ Tenga en cuenta que $r_i\in S$ para cada $i$ y $\chi_i\in\{1,-1\}$ para cada $i$ Así que $r_1^{\chi_1}\cdots r_{n+m}^{\chi_{n+m}}$ es un elemento de $H$ . Así, $H$ es un subgrupo de $G$ que contiene $S$ por lo que es uno de los subgrupos intersecados en la definición de $K$ . Por lo tanto, $K\subseteq H$ .

Como ya teníamos $H\subseteq K$ se deduce que $H=K$ según se desee.

Answer 2

Este tema se trata en casi todos los textos de introducción a la teoría de grupos.

Sea $H$ sea el subconjunto de todos los elementos de $G$ que puede expresarse como el producto finito de elementos en $S$ y sus inversos, y que $K$ sea la intersección sobre todos los subgrupos que contienen los elementos de S.

En primer lugar, tenga en cuenta que $H$ es un subgrupo de $G$ como producto de dos palabras $U(S)$ y $V(S)$ de longitud finita da otra palabra de longitud finita, $W(S)=U(S)V(S)$ mientras que si $U(S)\in H$ entonces $U^{-1}(S)$ mediante un simple argumento inductivo (el paso de inducción es simplemente $(V(S)x)^{-1}=x^{-1}V(S)$ ).

Claramente $S\subseteq H$ Así que $K\leq H$ (porque $K$ se obtiene intersecando todos los subgrupos que contienen a $S$ ). Por otra parte, $S\subseteq K$ y $K$ debe contener todos los elementos de $G$ que puede expresarse como el producto finito de elementos en $K$ y sus inversos (porque $K$ es cerrado bajo productos (finitos) e inversos), por lo que $H\leq K$ .

Así, $H=K$ y ya está.