Deje $z$ ser un número complejo. Vamos $$f(z)=\dfrac{1}{\frac{1}{z}+\ln(\frac{1}{z})}.$$ How to formally show that $f(z)$ is analytic at $z=0$? Sé que para los pequeños $z$ hemos $$\left|\tfrac{1}{z}\right|>\left|\ln(\tfrac{1}{z})\right|$$ and that implies $|f(0)|=0.$ Hay varias maneras de manejar esto ?
Respuestas
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Para mí, "analítica" significa "representada localmente por su serie de Taylor". Con esta interpretación $f$ no es analítica. En efecto, supongamos $f(z)=z^r\sum_{n=0}^\infty c_n z^n $ en un barrio de $0$ donde $c_0\ne 0$. Entonces $$\frac{1}{z}+\ln \frac{1}{z} = z^{-r} \sum_{n=0}^\infty b_n z^n $$ in some (possibly smaller) neighborhood of $0$. It follows that $\ln \frac{1}{z}$ has a pole or a removable singularity at $0$. If this is not evidently absurd already, apply the same to $\ln z=-\ln \frac{1}{z}$ y a la conclusión de que el logaritmo es una función racional.
DonAntonio
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$$f(z)=\frac1{\frac1z+\text{Log}\frac1z}=\frac z{1+z\,\text{Log}\frac1z}$$
Ahora,
$$\text{Log}\frac1z:=\log\frac1{|z|}+i\arg\frac1z\implies z\,\text{Log}\frac1z=z\log\frac1{|z|}+iz\arg\frac1z$$
Si ahora elegir una rama de corte para el logaritmo complejo (y mejor hacer si usted tiene alguna esperanza de tener ningún sentido en particular en esta materia), dicen que el medio habitual de eje real negativo y cero ($\;\Bbb R_-\;$), obtener un buen analítica de la función en el resto (y no nos importa lo que sucede con $\,z\to\infty\,$ ya que estamos muy lejos de allí) , así que
$$z\,\text{Log}\frac1z\xrightarrow[z\to 0\,,\,z\notin\Bbb R_-]{}0$$ and you can talk of a removable singularity of your function at $\,z=0\,$...aunque sería un poco absurdo, ya que usted ya ha quitado este punto por la elección de la anterior rama de corte para el logaritmo, y esta será la situación con cualquier rama de la corte que usted elija como cualquiera de ellos debe contener el punto cero...
En resumen, definitivamente no es analítica, aunque...
