Dominado problemas de convergencia con Wald identidad del Movimiento Browniano

Question

En el curso de la prueba de Wald de la segunda identidad de $E(B^2_T)=E(T)$ donde $(B_t)_{t\geq0}$ es el movimiento Browniano y $T$ es un tiempo de paro de la con $E(T)&lt\infty$, me atoré con el siguiente problema. La notación utilizada es $T \wedge n = \min(T,n)$.

Ya tengo $$E(T)=E(\lim_{n \to \infty} T \wedge n)\\ =\lim_{n \to \infty} E(T \wedge n)\\ =\lim_{n \to \infty} E(B^2_{T\wedge n}).$$ por la monotonía de la convergencia y la opcional de frenado teorema.

Además, por el Lema de Fatou $$E(B^2_T)=E(\lim_{n \to \infty} B^2_{T\wedge n})\\ \leq \liminf_{n \to \infty} E(B^2_{T\wedge n})\\ = E(T) < \infty.$$

Y ahora estoy atascado con la otra dirección. Traté de usar la dominante teorema de convergencia para el intercambio de los límites en $E(\lim_{n \to \infty} B^2_{T\wedge n})=\lim_{n \to \infty}E(B^2_{T\wedge n})$, pero no puedo encontrar una adecuada integración dominando la función de $B^2_{T\wedge n}$.

Doob la desigualdad de los tiempos de parada de los rendimientos $$E(\sup_{t \geq 0} B^2_{t \wedge T\wedge n})\leq 4 E(B^2_{T\wedge n}) \leq 4 E(T) <\infty,$$ pero lo que necesito es $E(\sup_{n \in \mathrm{N}} B^2_{T\wedge n})&lt\infty$.

Answer 1

Me gustaría señalar un camino más fácil para hacer esto. Definir $M_n = B_{T \wedge n}$ y tenga en cuenta que $M$ es una martingala que está delimitada en $L^2$. Es decir, $E[M_n^2] = E[T\wedge n] \leq E[T]<\infty.$ Desde $M$ es una martingala acotada en $L^2$ existe $M_\infty$ tal que $M_n \to M_\infty$.s. y en $L^2$. Desde $M_n \to B_{T}$ así, tenemos que $M_\infty = B_{T}$.s. En particular,$E[B_T] = \lim E[M_n] = 0$$E[B_T^2] = \lim E[M_n^2] = T$, lo que demuestra que ambos de Wald identidades.

Answer 2

Después de salir del problema por un tiempo, me encontré con la más obvia solución de reinspección.

La función integrable dominando $B^2_{T \wedge n}$ que yo estaba buscando es $\sup_{t \geq 0} B^2_{T \wedge t}$.

Tenemos $B^2_{T \wedge n} \leq \sup_{t \geq 0} B^2_{T \wedge t} \forall n \in \mathrm{N}$ y por Doob la desigualdad $E(\sup_{t \geq 0} B^2_{T \wedge t}) \leq 4 E(B^2_T) < \infty$.