Demuestre que dos antiderivadas difieren en una constante

Question

Hoy en Calc, nos hemos topado con dos antiderivadas (2 alumnos tenían enfoques diferentes que hemos resuelto) que son: $$ \ln \left| \frac{\sin x - 1 - \cos x + \sqrt 2 + \sqrt 2 \cos x}{\sin x - 1 - \cos x - \sqrt 2 - \sqrt 2 \cos x} \right| $$ y $$ \ln \left| \frac{2 - \sqrt 2 \cos x + \sqrt 2 \sin x}{\sqrt 2 \sin x + \sqrt 2 \cos x} \right|. $$

Resulta (afortunadamente) que sólo difieren en una constante, que según la TI es aproximadamente $0.88137358$ después de tomar la diferencia de sus gráficos. Pero para demostrar algebraicamente que son iguales, he intentado varias aproximaciones, pero he fracasado. Además, me interesa saber cuál sería esa constante en términos exactos. En broma, les dije a mis alumnos que hicieran esto para los deberes, ya que se nos acabó el tiempo, pero sinceramente este también me deja perplejo. Así que, por favor, ¿alguna sugerencia de los grandes pensadores que hay por ahí?

Answer 1

Si asumimos que ambos resultados son correctos, entonces sólo tenemos que evaluar la siguiente diferencia en un valor particular de $x$ .

\begin{eqnarray*} C &=&\ln \left\vert \frac{2-\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x}{\sqrt{2}\sin x+ \sqrt{2}\cos x}\right\vert \\ &&-\ln \left\vert \frac{\sin x-1-\cos x+\sqrt{2}+\sqrt{2}\cos x}{\sin x-1-\cos x-\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos x}\right\vert \\ &=&\ln \left\vert \frac{2-\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x}{\sqrt{2}\sin x+ \sqrt{2}\cos x}\left( \frac{\sin x-1-\cos x+\sqrt{2}+\sqrt{2}\cos x}{\sin x-1-\cos x-\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos x}\right) ^{-1}\right\vert . \end{eqnarray*}

Para $x=0$ encontramos $C=\ln |- \left( \sqrt{2}+1\right)|=\ln \left( \sqrt{2}+1\right).$

Si queremos demostrar que las dos antiderivadas difieren en una constante, entonces podemos expresar $\sin x$ y $\tan x$ en términos de $t=\tan \frac{x}{2}$ para obtener una función racional en $t$ que luego simplificaremos hasta obtener una constante. Como

\begin{eqnarray*} \sin x &=&\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}} \\ \cos x &=&\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2} }{1+t^{2}}, \end{eqnarray*}

tenemos que

\begin{eqnarray*} C &=&\ln \left\vert \frac{\left( 2-\sqrt{2}\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+2\sqrt{2} \frac{t}{1+t^{2}}\right) \left( 2\frac{t}{1+t^{2}}-1-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}- \sqrt{2}-\sqrt{2}\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right) }{\left( 2\sqrt{2}\frac{t}{ 1+t^{2}}+\sqrt{2}\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right) \left( 2\frac{t}{1+t^{2}}-1- \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+\sqrt{2}+\sqrt{2}\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right) } \right\vert \\ &=&\ln \left\vert \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}\left( t-1-\sqrt{2}\right) \left( 2+\sqrt{2}\right) \left( t+\sqrt{2}-1\right) ^{2}}{\left( t-1+\sqrt{2} \right) \left( -2t-1+t^{2}\right) }\right\vert \\ &=&\ln \left\vert \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}\left( 2+\sqrt{2}\right) \left( -2t-1+t^{2}\right) }{\left( -2t-1+t^{2}\right) }\right\vert \\ &=&\ln \left\vert -\left( \sqrt{2}+1\right) \right\vert \\ &=&\ln \left( \sqrt{2}+1\right) . \end{eqnarray*}