Espacios de funciones similares a las de $L^p$, pero con diferentes locales y globales tamaños

Question

Obviamente, mucho de análisis en $\mathbb R^n$ considera $L^p$ espacios u otros espacios de Banach que se derivan de ellas. La definición de $L^p(\mathbb R^n)$ se ve muy natural, pero he sido molestado por algún tiempo que lo que se mide, puede que no tan natural. Mi problema en concreto es que se mide el "local" tamaño de $f$ (es decir $f\cdot\mathbf1_{|f|>1}$) con el mismo $p$ que mide la "global" de tamaño (es decir $f\cdot\mathbf1_{|f|\leq1}$). Que intuitivamente me siento como el local y global tamaños no tienen nada que ver el uno con el otro y por lo tanto es arbitrario decir que deben ser medidos con el mismo exponente.

Me parece entonces que el análisis podría beneficiarse de un poco de espacio de Banach $X^{p,q}$ que permite medir la función localmente en $p$ y a nivel mundial en $q$. Para ilustrar mi preocupación, considere la posibilidad de $|x|^{-a}$ ($a>0$), que no se encuentran en ninguna $L^p$ espacios! Pero tenemos $|x|^{-a}\in X^{p,q}$ mientras $n/q<a<n/p$. Es entonces claro cómo $L^p=X^{p,p}$ es simplemente un caso especial, y no $a$ a satisfacer $n/p<a<n/p$.

Una norma explícita pensé que podría hacer el trabajo es $$\|\varphi\|_{X^{p,q}}=\inf_{K\subset\subset\mathbb R^n}\left(\|\varphi\cdot\mathbf1_K\|_{L^p}+\|\varphi\cdot\mathbf1_{K^c}\|_{L^q}\right).$$

Lo más cercano que he visto a esto es lo que Lemarie-Rieusset (los Recientes Acontecimientos en el Navier-Stokes Problema, 2002) llama a $WL^\infty$ con la norma $$\|\varphi\|_{WL^\infty}=\sum_{k\in\mathbb Z^n}\sup_{x-k\in[0,1]^n}|\varphi(x)|,$$ que se asemeja a lo que mi anterior notación llamaría $X^{\infty,1}$.

Así que por favor dime, ¿estoy equivocado que esto es algo natural a considerar? Parece que los analistas han llegado muy lejos sin él. Tal vez hay algo muy especial acerca de la medición de la local y global de las partes de una función en la misma forma. O tal vez un espacio que se conoce y yo no he venido a través de ella.

Answer 1

el análisis podría beneficiarse de un poco de espacio de Banach $X^{p,q}$ que permite medir la función localmente en $p$ y a nivel mundial en $q$.

Dichos espacios no existen, en varios sabores.

Interpolación de espacios

Los espacios de $L^p\cap L^q$ $L^p+L^q$ a veces aparecen en la PDE y con frecuencia en la teoría de la interpolación. En $L^p\cap L^q$, el menor exponente controla el comportamiento global, el más grande de los controles de la "cola". Las normas pueden ser, simplemente,$\max(\|f\|_p,\|f\|_q)$. La suma de $L^p+L^q$ se compone de las sumas $ h= f+g$ con $f\in L^p$, $g\in L^q$; la norma es el infimum $\|h\| = \inf_{f+g=h}(\|f\|_p+\|g\|_q)$.

La amalgama de espacios

Wiener amalgama de espacios se definen de forma diferente dependiendo del dominio de funciones de bajo consideración (a veces con un continuo de la partición de la unidad, o de convolución con la función de la ventana), pero la forma más simple, en $\mathbb{R}^n$, es

$$\|f\|_{W(L^p,L^q)} = \left(\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\left(\int_{[0,1]^n+k}|f|^p \right)^{q/p}\right)^{1/q}$$

Las funciones en $W(L^p,L^q)$ son localmente en $L^p$ y su comportamiento global es como $L^q$.

Referencias:

• Wiener Amalgamas Sobre Euclidiana Espacios Y Algunos de Sus Aplicaciones por Feichtinger
• Una Introducción a la Ponderado Wiener Amalgamas por Heil (se trata con el promedio ponderado de espacio, pero da referencias que describen no ponderado de los espacios en la introducción)