Esperanza condicional como una variable aleatoria

Question

Tenemos tres variables aleatorias $x,y,z$. Es la condición "$y$ $z$ son independientes" suficiente para garantizar que la "$\mathbb{E}(x\,|\,y)$ $z$ son independientes"? Alguien podría darme una breve prueba o contraejemplo? Muchas gracias!

Mi problema es que: Por intuición creo que no es suficiente a menos que también se asume que $x$ es independiente de a $z$. Sin embargo, por definición, $\mathbb{E}(x\,|\,y)$ $\sigma(y)$medible, lo que significa que el $\sigma$-álgebra generada por la variable aleatoria $\mathbb{E}(x\,|\,y)$ está contenido en $\sigma(y)$. Ya sabemos que $\sigma(y)$ $\sigma(z)$ son independientes, se deduce que el $\mathbb{E}(x\,|\,y)$ $z$ son independientes. Lo que está mal en este argumento?

Answer 1

Esto requiere cuidadosamente la comprensión de la notación; $\mathbb{E}(X|Y)$ es una variable aleatoria que sólo depende del valor de la variable aleatoria $Y$. Es independiente de cualquier cosa que $Y$ es independiente y dependiente en cualquier cosa que $Y$ es dependiente.

Como se ha mencionado en los comentarios anteriores, considere la posibilidad de cualquier ejemplo donde $X$ no es independiente de $Z$, pero $Y$ es independiente de $Z$. En este caso, $\mathbb{E}(X|Y)$ es una variable aleatoria que depende únicamente de la distribución de $Y$. Cualquier posible dependencia de $Z$ ha sido 'integrado'.

En el ejemplo dado en los comentarios de la op: $Y\sim U(0,1)$, $Z\sim U(0,1)$, $X\sim U(0,z)$, sin ninguna especificación de $X$'s la dependencia de $Y$, voy a asumir que ellos son independientes, por lo que: $$E(X|Y)=E(X)=\int_0^1\int_0^z\frac{1}{z}dxdz=\frac{1}{4}.$$ Para darse cuenta de la dependencia de $X$'s expectativa en $Z$, se debe escribir $\mathbb{E}(X|Z)$. En este ejemplo, $$\mathbb{E}(X|Z)=\frac{Z}{2}.$$

Para ser más explícito: $\mathbb{E}(X)$ (un número) es independiente de $X$ (variable aleatoria). La 'expectativa' notación implica la integración sobre la distribución de la variable aleatoria. Por lo tanto, si $\mathbb{E}(X)=\mu$,$\mathbb{E}\left(\mathbb{E}(X)|X\right)=\mathbb{E}\left(\mu|X\right)=\mu=\mathbb{E}(\mu)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(X))$. Por lo tanto $\mathbb{E}(X)$ es independiente de $X$. Esto puede parecer tonto, pero aún así es una cosa importante para darse cuenta.