Mostrando que $\{z\in\mathbb{C}:|z-1|<|z+i|\}$ es un conjunto abierto

Question

Se quedó atascado en alguna tarea (de H. A. Priestley, Análisis Complejo). Mi topología no es bastante la velocidad todavía.

Así que, quiero mostrar que la $S=\{z\in\mathbb{C}:|z-1|<|z+i|\}$ está abierto. Geométricamente son los puntos por encima de la línea a través de $1-i$ y el origen. (Eh?)

Así que, básicamente lo que quiero hacer es probar que para cada $z\in S$, hay un $r>0$ tal que $D(z;r)\subset S$. En más palabras concretas, quiero averiguar un $r$ de manera tal que la implicación $|w-z|<r \Rightarrow |w-1|<|w+i|$ mantiene.

Empecé a tocar el violín alrededor con la desigualdad de triángulo

$$|w-1|=|w-z+z-1|\leq |w-z|+|z-1|$$

y entonces pensé que podía establecer $0<r<|z+i|-|z-1|$, que luego daría

$$|w-1|\leq |z+i|$$

pero eso no es bastante. Traté de usar más términos en el "triángulo de la desigualdad truco", pero me parece que no puede conseguir de la forma que yo quiero. Ayúdame oh matemáticas.stackexchange! (Si quieres, claro.)

Answer 1

Independientemente de la forma de la set $S,$ esto es en realidad bastante sencillo demostrar, utilizando topología básica de los resultados.

Considere la función $f:\Bbb C\to\Bbb R$ dada por $$f(z)=|z+i|-|z-1|.$$ One can show that $f$ is continuous, which I leave to you, and that $$S=\{z\in\Bbb C:f(z)>0\},$$ which again I leave to you. Put another way, $$S=f^{-1}\bigl[(0,\infty)\bigr]:=\bigl\{z\in\Bbb C:f(z)\in(0,\infty)\bigr\}.$$ Since $f:\Bbb C\a\Bbb R$ is continuous and $(0,\infty)$ is open in $\Bbb R,$ what can we then say about $S$?

Si usted no tiene ninguna terrenal idea de lo que estoy hablando, hágamelo saber y voy a tratar de aclarar las cosas para usted.

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Agregó: "Vamos a explorar esto un poco más, con la ya conocida (pero un poco tedioso) definición de continuidad:

Si $z_0\in\Bbb C$ $g:\Bbb C\to\Bbb C,$ nos dicen que $g$ es continua en a $z_0$ si $$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0:\bigl(|z-z_0|<\delta\bigr)\implies\bigl(|g(z)-g(z_0)|<\epsilon\bigr).$$ We say that such a $g$ is a continuous function if it is continuous at all $z_0\en E.$ Put another way: $$\forall z\in \Bbb C,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0:\bigl(|w-z|<\delta\bigr)\implies\bigl(|g(w)-g(z)|<\epsilon\bigr).$$

Bueno, eso es todo bastante desordenado. ¿Cómo ayudar? Hay algunos pasos a tomar.

En primer lugar, hemos de probar que la función de $f$ descrito anteriormente es continua. (La prueba es básicamente de varias aplicaciones de la desigualdad de triángulo, y es un ejercicio muy bueno. Déjame saber si te quedas atascado, o si solo quieres platicar de tus pensamientos fuera de alguien.)

A continuación, se nos nota/demostrar que $S$ es precisamente el conjunto de todos los $z\in\Bbb C$ que $f(z)>0.$

A continuación, queremos utilizar estas hecho para mostrar que $S$ está abierto, pero no parece claro cómo esto es posible! El trampolín es traducir la continuidad en términos de bloques abiertos. Bueno, ya $f:\Bbb C\to\Bbb R$ es continuo, lo que significa $$\forall z\in\Bbb C,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0:\bigl(|w-z|<\delta\bigr)\implies\bigl(|f(w)-f(z)|<\epsilon\bigr),$$ which can instead be put as $$\forall z\in\Bbb C,\forall\epsilon>0,\exists r>0:\bigl(w\in D(z;r)\bigr)\implies\bigl(|f(w)-f(z)|<\epsilon\bigr).$$ (Do you see why?) From this, it follows (since $S\subseteq\Bbb C$ that $$\forall z\in S,\forall\epsilon>0,\exists r>0:\bigl(w\in D(z;r)\bigr)\implies\bigl(|f(w)-f(z)|<\epsilon\bigr).$$ Note moreover that for all $z\in S,$ we have $f(z)>0,$ so it follows that $$\forall z\in S,\exists r>0:\bigl(w\in D(z;r)\bigr)\implies\bigl(|f(w)-f(z)|<f(z)\bigr).$$

Ahora, usted debería ser capaz de demostrar que si $|f(w)-f(z)|<f(z),$ $f(w)>0.$ por lo tanto, tenemos $$\forall z\in S,\exists r>0:\bigl(w\in D(z;r)\bigr)\implies(f(w)>0).$$ se Puede justificar los reclamos y tomar desde allí?

Answer 2

Elija $r = \frac{|z+i|-|z-1|}2$. Entonces, si $|w-z|<r$, $$|w-1|<|z-1|+r= |z+i|-r<|w+i|.$$