¿Puede un conjunto inexistente seguir siendo infinito?

Question

¿Podemos afirmar que hay un número infinito de objetos cuando el conjunto de los mismos no existe?

Por ejemplo, no existe el conjunto de todos los conjuntos, pero ¿podemos seguir diciendo que hay infinitos conjuntos ( de cualquier tipo )? ¿Y qué significaría eso? ¿Cómo lo diríamos formalmente?

Una forma es simplemente decir: mira, hay infinitos subconjuntos de enteros, así que, por supuesto, hay infinitos conjuntos de cualquier tipo en general. Pero al decir esto, debemos basarnos en algo como "un superconjunto de un conjunto infinito es infinito" o algo similar. ¿Y qué significaría decir que hay infinitos conjuntos?

Otro ejemplo es de aquí: proporcionar-diferentes-pruebas-para-la-siguiente-igualdad . El conjunto de todas las pruebas de un teorema dado no está definido, pero podemos describir claramente un conjunto infinito de tales pruebas (que NO es un subconjunto del conjunto de todas las pruebas porque tal conjunto no existe). ¿Podemos seguir afirmando que hay infinitas pruebas del teorema, y qué significaría exactamente esa afirmación?

P.D. Si conoce alguna literatura que discuta esta cuestión o cuestiones similares, puede guiarme a través de la literatura proporcionando algunas referencias. Se lo agradecería mucho.

Answer 1

Cambiemos un poco la pregunta. ¿Qué significa finito ?

Hay varias definiciones. Una de ellas es que un conjunto es finito si tiene una inyección en un ordinal finito (un ordinal finito es un elemento del primer ordinal límite). Por supuesto, se puede extender esta definición a las colecciones (una colección es un predicado con una variable libre) de conjuntos. Y está claro que si una colección tiene una inyección en un ordinal finito, entonces la colección es en sí misma un conjunto. De hecho, a partir de la inyección, podemos construir una biyección sobre un ordinal más pequeño, y entonces la colección es la imagen del ordinal bajo el mapa inverso, por lo que es un conjunto (axioma de sustitución).

Por tanto, si una colección no es un conjunto, no es finita en este sentido.

Otra definición para que un conjunto (o colección) sea finito es que toda inyección de la colección en sí misma sea suryente. Para los conjuntos, y con el axioma de elección dependiente, esto es equivalente a la definición anterior. Las cosas son un poco más complicadas, pero creo que la conclusión debería ser la misma. Puedo ver una prueba con el axioma de fundación: sea C una colección, finita en ese sentido. Entonces todo conjunto $C\cap V_\alpha$ es finito. Consideremos el mapa no decreciente $\alpha \mapsto \operatorname{card} C\cap V_\alpha$ de los ordinales a los ordinales finitos. Este mapa es eventualmente constante, por lo que existe un $\alpha$ tal que $C\cap V_\alpha = C$ . Así, $C$ es un conjunto.

Answer 2

Euclides demostró que hay un número infinito de primos sin conocer la teoría de conjuntos. Lo formalizó de la siguiente manera: ninguna lista (finita) de primos contiene todos los primos. Puedes aplicar una formalización similar a todos tus ejemplos, demostrando que ninguna lista finita de conjuntos contiene todos los conjuntos de ningún conjunto finito de pruebas contiene todas las pruebas.

Answer 3

Sí, por supuesto. Los finistas argumentarán que no tiene sentido hablar de conjuntos infinitos, o que en realidad no existen. Pero este argumento es sobre todo un ejercicio de pedantería y no afecta en absoluto a las matemáticas. Por supuesto, en el universo físico tenemos limitaciones que nos impiden contemplar colecciones infinitas de objetos, pero las matemáticas no estudian el universo físico.

Cuando hablamos de algún conjunto infinito, como por ejemplo "el conjunto de todos los números pares", hay dos interpretaciones posibles: La interpretación clásica (en la que estás pensando) es que estás hablando de la infinitud de los números pares tomados como un todo. Si esto "existe realmente" o no es una cuestión ontológica que queda fuera del ámbito de las matemáticas. La interpretación finitista es que estás hablando del conjunto que incluye todos los números pares; una forma de pensar en ello sería pensar en las propiedades limitantes del "conjunto de números pares menores que N" a medida que N se hace grande. En este sentido, el conjunto existe como una idea (un límite de conjuntos finitos), aunque no existan infinitos números pares, cada número par que existe o podría hipotéticamente existir se está considerando cuando se habla del conjunto de todos los números pares. En cualquiera de las dos interpretaciones, los teoremas a los que llegarás son los mismos, así que prácticamente no hay diferencia.