Un espacio con coordenadas "intercambiables", $\mathbb{R}^n / S_n $

Question

(Me disculpo de antemano por la falta de rigor en esta pregunta, soy algo así como un matemático de sillón en este momento, pero me esfuerzo):

Tengo un espacio que es similar a $\mathbb R^n$ con la siguiente propiedad: el punto $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ se identifica con cualquier otro punto que tenga las mismas coordenadas en orden permutado. Para concretar, si mi espacio se basa en $\mathbb R^2$ , entonces el punto $(0,1)$ se identificaría con el punto $(1,0)$ y sería indistinguible de ella.

Por lo que he podido averiguar, este espacio es $\mathbb R^n$ con una acción de grupo asociada, donde esa acción de grupo se debe al grupo de permutación que permuta las coordenadas. ¿Es eso todo lo que es? ¿Tiene alguna propiedad agradable (por ejemplo, es un colector)? ¿Cómo podría empezar a estudiar este espacio?

Answer 1

Parece que estás describiendo el espacio del cociente $\mathbb{R}^n/S_n$ . Algunos llaman a esto el $n^{th}$ "poder simétrico" (de $\mathbb{R}$ ), aunque hay que tener un poco de cuidado con esa terminología porque puede utilizarse para referirse a otras dos construcciones relacionadas pero diferentes.

Este cociente no es un colector, sino que puede considerarse como un orbifold . Por ejemplo, $\mathbb{R}^2/S_2$ se obtiene doblando el plano por la mitad a lo largo de la diagonal $x = y$ por lo que no es un colector (sin frontera) en la diagonal, donde la acción de $S_2$ tiene un estabilizador no trivial.

Si se desechan todos los puntos en los que la acción de $S_n$ tiene un estabilizador no trivial (por lo tanto, cada punto donde algunos dos de los $x_i$ son los mismos) se obtiene un espacio llamado espacio de configuración de $n$ puntos desordenados en $\mathbb{R}$ . Este no es un espacio muy interesante, pero sus parientes (por ejemplo, el espacio de configuración de $n$ puntos en $\mathbb{R}^k$ para $k \ge 2$ ) son muy interesantes y están ampliamente estudiados.

Hay una construcción relacionada en la geometría algebraica que se comporta algo mejor y que también se llama potencia simétrica.