Área de un sector entre un punto y una función determinada por un ángulo

Question

He estado tratando de encontrar una manera de hacer esto: dado un punto $P(\alpha,\beta)$ una función $f(x)$ y un ángulo $\theta$ halle el área del sector determinado por la prolongación de una línea horizontal desde $P$ a $f$ y luego otro de $P$ a $f$ en el ángulo $\theta$ desde la primera línea. Si miras esta imagen:

es un poco más claro de lo que estoy hablando. Quiero encontrar el área de ese sector $S$ que está determinado por ese triángulo $R_1$ y la otra región $R_2$ . Dejemos que el valor de $x$ donde la línea horizontal de $P$ golpes $f$ sea $q$ (es decir, $q=f^{-1}(\beta)$ ). Ahora, la línea $\overline{PA}$ tiene la ecuación $y=\tan\theta(x-\alpha)+\beta$ . La intersección de eso y $f$ el punto $A$ (el primer punto de intersección), es el comienzo del intervalo que determina $R_2$ ; llamaré a la raíz $p$ de $f(x)=\tan\theta(x-\alpha)+\beta$ ese valor de $x$ Así que $p=f^{-1}(\tan\theta(x-\alpha)+\beta)$ . El área de $R_1$ es simplemente el área del triángulo: $R_1=\frac{1}{2}(p-\alpha)(f(p)-\beta)$ . El área de $R_2$ es el área bajo la curva de $p$ a $q$ menos la altura inicial $\beta$ : $R_2=\displaystyle\int_p^q (f(x)-\beta) dx$ . Por lo tanto, la superficie total es $$S=\frac{1}{2}\tan\theta(p-\alpha)^2-\beta(q-p)+\displaystyle\int_p^q f(x) dx$$

Esta es la forma en que lo hice, pero tiene que haber una forma más sencilla; ¿hay alguna que implique ecuaciones polares? ¿Existe una fórmula general cuando $f$ no es invertible?

Editar: Si la función $f$ se traduce de manera que $P$ es ahora el origen, el área es sólo $\displaystyle\frac{1}{2}\int_0^\theta r^2 d\phi$ donde $r(\phi)$ es $f(x)$ en forma polar. Sin embargo, la traducción de $f$ hasta donde $P$ está en el origen lo convierte en $f(x+\alpha)-\beta$ . ¿Existe una forma agradable de ponerlo en forma de polos?

Answer 1

Sí, es más fácil utilizar coordenadas polares. Si tienes una región en el plano determinada por dos rectas $OA$ y $OB$ empezando en un punto $O$ -como los de tu foto- y formando ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ con respecto a la $x$ -eje ( $OB$ no necesita ser horizontal) y cierras tu región con una curva cuya ecuación polar es $r = r(\theta )$ y luego se aplica el cambio de variables teorema, y tienes

$$ A(D) = \int_D dxdy = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_0^{r(\theta)} rdrd\theta = \frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r(\theta)^2 d\theta \ . $$

Aquí $D$ es su sector y $A(D)$ su área.

Por ejemplo, si se quiere calcular el área de un círculo de radio $R$ (ya lo sabes, pero por si acaso...), $r(\theta ) = R$ . Por lo tanto,

$$ A(D) = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} R^2d\theta = \pi R^2 \ . $$

Increíble, ¿verdad? :-)

Por lo tanto, el único problema podría ser que sus datos comienzan necesariamente con la ecuación de la curva dada en coordenadas cartesianas $y = f(x)$ y hay que traducirlo a coordenadas polares.