Hacer las clases de Chern de un director de paquete dependen de una incrustación $G\hookrightarrow U(n)$?

Question

Deje $G$ ser un compacto de Lie del grupo y $\pi:P\to M$ principal $G$-bundle. Desde $G$ es compacto, tiene una incrustación $G\hookrightarrow U(n)$ algunos $n$. Esta incrustación determina un único director $U(n)$-paquete de más de $M$ y de ahí obtener las clases de Chern $c_k\in H^{2k}_{\mathrm{dR}}(M;\Bbb{R})$ $k=1,\ldots,n$ (mediante la aplicación de la Chern-Weil homomorphism a la $U(n)$-invariante polinomios $\mathfrak{u}(n)\to\mathbb{R}$ obtenido por la expansión de la función de $\det(\lambda I-\frac{1}{2\pi i}X)$ en potencias de $\lambda$).

¿Hasta qué punto estas cohomology clases dependen de la elección de la incrustación $G\hookrightarrow U(n)$?

En otras palabras, si $G\hookrightarrow U(m)$ es otro de incrustación y construimos las respectivas clases de Chern $\tilde{c}_k\in H^{2k}_{\mathrm{dR}}(M;\Bbb R)$, tenemos $\tilde{c}_k=c_k$ $1\leq k\leq\min(m,n)$ e todas las otras clases son cero?

Answer 1

Ciertamente, esto dependerá de la emebding. Por ejemplo vamos a $G=U(1)$ el corresponsal $C^n$ paquete de divisiones como la sume de línea budnles $L^{n_i}$ cuando la $n_i$ el peso de la representación, y $L$ es la línea de paquete asociado con la isomorfo representación $U(1)\to U(1)$. Así, el Chern carácter es el producto de $\Pi_i^n (1+n_ic)$. Algo como esto es cierto para el caso general ; el cálculo se reduce en el caso de que para el conjunto de representaciones irreducibles de $U(n)$.